対数関数

質問

f(x)=(log[2]x)^2-log[4]ax^2がある。ただしaは正の定数である。
(1)a=16のとき、f(1),f(4)の値を求めよ。
(2)f(x)の最小値をaを用いて表せ。
(3)1≦x≦bにおける最大値が5、最小値が-5/4であるとき、定数a,bの値を求めよ。ただし、b≧2とする。

という問題なのですが、真数条件よりx>0で、
(1)は、f(1)=-2,f(4)=0となりました。
(2)は、よくわからないのですが、
log[2]x=X,log[2]a=Aおき、f(x)=X^2-X-(A/2)となったので、X=1/2のとき、すなわちx=√2のとき、最小値(-1/2)log[2]a-(1/4)としましたが、自信はありません。
(3)は1≦x≦bより、0≦X≦log[2]b？？という感じです。（表記が間違ってたらすみません。）

どうすればよいのでしょうか、よろしくお願いします。

回答No.1

kumipapa · ベストアンサー

f(x)=(log[2]x)^2-log[4](ax^2) ですね。

(1) f(1)=-2, f(4)=0 となりました。
(2) 質問者さんと同じ。
f(x) = (log[2]x)^2 - (1/2)log[2](ax^2)
　　= (log[2]x)^2 - log[2]x - (1/2)log[2]a
　　= (log[2]x - 1/2)^2 - (1/2)log[2]a - 1/4
より、log[2]x = 1/2 すなわち x = √2 のとき最小値 -(1/2)log[2]a - 1/4

(3)
落ち着いて考えれば良いでしょう。
1≦x≦b （b≧2) のf(x)の最小値は(2)よりx=√2のとき。
f(√2) = -(1/2)log[2]a - 1/4 = -5/4
より、log[2]a = 2, a = 2^2 = 4
f(x)の最大値はx=1またはx=bのときであるが、f(1) = -1 なので、最大値が5になるのはx=bのとき。
f(b) = (log[2]b)^2 - log[2]b - 1 = 5
(log[2]b - 3)(log[2]b + 2) = 0
b≧2 より log[2]b ＞ 0 であるから
log[2]b = 3
b = 2^3 = 8

お礼

ありがとうございました。解決しました。