対数の問題です

質問

関数f(x)=(log2x)＾2+(logx2)＾2-2a(log2x+logx2)+3がある。
(1)log2x+logx2=tとおくとき、tのとりうる値の範囲を求めよ。
(2)f(x)の最小値をm(a)とするとき、m(a)の最大値を求めよ。

(1)からわかりません。log2x+logx2=tとおくとf(x)は２次関数になるのでグラフかいてみたり、相加相乗使ってみたりしてみましたがダメでした。

どのようにして解くのか教えてください。

※log2xは2が底、logx2はxが底です。

回答No.2

daisangenn · ベストアンサー

(1）
t = log2x+logx2 =log2x+(1/log2x)
となりあとは、adinatさんの書いてあるとおりで
答えは -2≧t,t≧2 となります。
(2)
t^2 = (log2x)^2+(logx2)^2+2 より
f(x)=t^2-2at+1 になります。よって、この2次関数の頂点は(a,1-a^2)となります。
あとは、-2≧a,-2≦a≦0,0≦a≦2,2≧a　場合分けして考えます。
-2≧aの時の最小値は、1-a^2 (t=aの時)
→この時の最大値は、-3 (a=-2の時)
-2≦a≦0の時の最小値は、5+4a (t=-2の時)
→この時の最大値は、5 (a=0の時)
0≦a≦2の時の最小値は、5-4a (t=2の時)
→この時の最大値は、5 (a=0の時)
2≧aの時の最小値は、1-a^2 (t=aの時)
→この時の最大値は、-3(a=2の時)

よって、(2)の答えはm(a)=5 (a=0)となる。

お礼

回答していただきありがとうございます

回答No.1

adinat

高校生の問題ならばx>0は間違いないでしょう。
だって2を何乗したら-1になりますか？
なんてわけわかりませんものね。
さらに高校流の定義だとx=1でもトラブルが起きますので、
x≠1も仮定しておきます。
厳密には対数の多価性も問題になってきますし。

もう少し議論を簡単にするためにy=log2xとおきます。
x>0とすればyはちょうど全実数を動きます。
そうするとlogx2=1/yであることから
t=y+1/yの動く範囲を求めなさい、ということです。
これはグラフを描けばわかりますし、
例えばy>0の時は相加相乗平均からt≧2、
y<0の時はz=-yなんかとしてみてやはりt≦-2
を得ることからもわかります。

あとは親切な方がもしかすると教えてくださるかも
知れませんが、(2)は範囲つきの二次関数の最小問題です。

お礼

回答していただきありがとうございます

＞y<0の時はz=-yなんかとしてみてやはりt≦-2
を得ることからもわかります。
ここまでは考えが浮かびませんでした