微分[最大値と最小値]

質問

某テキストを使用していてわからない問題があるので教えてください。
数学素人なので教える感じで説明してくれる方お願いします。

問
関数f(x)= -x^3+3ax(0=<x=<1)の最大値とそのときのxの値を求めよ。ただし、aは定数とする。

こたえ
a=<0のとき、 x=0で最大値0
0<a<1のとき、 x=√aで最大値2a√a
1=<aのとき、x=1で最大値3a-1

微分して最大値を求める問題は理解しています。

解説では、
f'(x)=-3x^2+3a=-3(x^2-a)
a=>0ならば、f'(x)<=0でf(x)は単調に減少する。
よって最大値はF(0)=0
a>0ならば、f'(x)=-3(x+√a)(x-√a)
[1]0<√a<1のとき、すなわち、0<a<1のとき、
f(x)はx=√aで極大かつ最大である
[2]1=<√aのとき、すなわち
1=<aのときf(x)は単調に増加し、x=1で最大である。

とあります。が、この解説を読んでもわかりません。
どういった知識（公式、定理）が必要でしょうか？漏れがあるかもしれません。
わかりやすく教えてくれる方、回答お待ちしています。

回答No.3

fushigichan · ベストアンサー

zihard99さん、こんにちは。
＃１のかたが説明してくださっていますが、この問題は増減表を書いてみるのがいいと思います。

まず、
y=f(x)=-x^3+3ax (0≦x≦1)
これをｘで微分して、導関数f'(x)を求めます。

y'=f'(x)=-3x^2+3a=-3(x+√a)(x-√a)と因数分解できます。
よって、この関数y=f(x)は、x=±√aで極値をとります。

1)a=0のとき、f'(x)=-3x^2<0なので、このグラフは単調減少になります。
　したがって、最大値はx=0のときなので、f(0)=0

2)a＞0のとき
x　・・・・・-√a　・・・・・√a　・・・　　
---------------------------------------
f'(x)　　　　0　　　　　　　　0　　　　
---------------------------------------
f(x)　　　　f(-√a)　　　　　f(√a)　
　　　　ー　極小　　＋　　　極大　　　－

のような増減表になることは、よろしいでしょうか。
まず、このグラフを描いてみて、その中でxの定義域
0≦x≦1がどのようになるのかを、考えてみればいいと思います。

あ）1≦√aのとき、（すなわち、1≦aのとき）　
　上で描いたグラフの、0≦x≦1での最小値はもちろんx=0のときですが
　最大値は、x=1のとき、f(1)になりますね。

い）0<√a<1のとき（すなわち0<a<1のとき）
　グラフから、0≦x≦1での最大値は、極大となるx=√aのときのf(√a)です。

一度、ｘの定義域をまずはずして、増減表からy=f(x)
のグラフを描いてみて、その中で、定義域がどこにあるのか・・
を考えていけば分かりやすいと思います。
頑張ってください！！

お礼

fushigichanさん、こんにちは。大変返信遅くなり申し訳ありません。増減表を利用すれば解明しやすいことが判明しました。ありがとうございました。またお会いしましょうヘ(^o^)/

回答No.2

jun9031

追加です。
この手の問題は同時に最小値を求めさせることも多いです。
この問題でも最小値を求めてみると練習になりますよ。
a=<0,a>=1の時の最小値は最大値を考えた時に明らかになっているかと思います。
0<√a<1の時の最小値は、f(0)またはf(1)になるわけですが、そこで場合分けが必要になります。
どのようにわければいいかは考えてみてください。

お礼

大変返信遅くなり申し訳ありません。明回答ありがとうございました。おかげでどう考えればよいかわかりました！またの機会よろしくお願いします。

回答No.1

jun9031

この手の問題で必要な知識はグラフを書けるかどうかの知識です。
f(x)=0,f'(x)=0の意味、f'(x)>0,f'(x)<0の意味が重要です。（グラフの形、極値のイメージが必要です。）
まず、y=f(x)のグラフをイメージしてみましょう。
３次関数でx^3の係数がマイナスなので、x→－∞でy→∞、x→∞でy→－∞になることがわかります。
f(x)=-3x(x^2-3a)なので、a>0であれば、x=0,√3a,-√3aでy=f(x)はx軸と交わります。
a=<0の場合はx=0でのみx軸と交わります。
また、f(0)=0,f(1)=3a-1となります。
ここでf(x)(0=<x<=1)の最大値は、どこになるのかグラフを実際書いてみて考えてみましょう。
（f'(x)の正負はy=f(x)の傾きを表します。f'(x)=0は極値を表します。）
f'(x)=0となるxが存在しなければ極値を持たないため、y=f(x)は右下がりのグラフになります。よって、x=0の時に最大値となるのは明らかです。
f'(x)=0となるxが存在した場合、その値がx=1より小さい場合、0=<x<=1の区間では上に凸のグラフになっているので、その極値で最大値をとります。
逆にx=1より大きい場合は0=<x<=1の区間では右上がりのグラフになるため、x=1で最大値をとります。
そこまでイメージしたあとに実際に微分を考えましょう。
f'(x)=-3(x^2-a)ですので、
a=<0であれば、常にf'(x)=<0となり、右下がりのグラフとなります。
（ただし、これば微分するまでもなく、上記で記述したとおりです。）この時の最大値はf(0)=0です。
a>0の時はf'(x)=-3(x+√a)(x-√a)となり、
f'(√a)=f'(-√a)=0つまり、x=√a,-√aで極値を持ちます。-√aは明らかにx=0より小さいのでここでは置いておきます。問題は√aが0=<x<=1の区間にあるかどうかになります。
そこで解説のように0=<√a<=1の場合、y=f(x)のグラフは0=<x<=1の区間、x=√aで極大値を持つため、最大値はy=f(√a)=2a√aです。
√aがx=1より大きい場合は、0=<x<=1の区間では右上がりのグラフになるため、x=1で最大値をもち、
最大値はf(1)=3a-1となります。

こんなかんじになるのですが、分かりますか？
特に必要な知識はグラフを理解する知識です。