数IIIの最大・最小について

質問

数学IIIの分野についての質問です。
『f(x)= x/x^2 + ax + b が定める曲線y=f(x)は原点で直線y=xに接している』
という問題なのですが、この条件時でb=1は出ました。
しかしf(x)が最大値および最小値を持つようなaの範囲の求め方、およびf(x)が最大値を持つが最小値を持たない時のaの値の求め方が分かりません。
どなたかご回答宜しくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

>f(x)= x/((x^2)+ax+1)
分母=0の2次方程式
(x^2)+ax+1=0
の解の個数によって分類すればよく
■実数解を持たない場合(判別式D＜0 つまり |a|<2の場合）
分母の値域は　0<1-(a/2)^2≦分母<∞
この場合は最小値と最大値がともに存在します。
■重解をもつ時（判別式D=0 つまり　a=±2の場合）
a=2の場合
(x^2)+2x+1=(x+1)^2=0 重解x=-1
この場合はx=-1で分母=0なのでf(-1)→-∞、x≠-1のxで最大値はとりますが、最小値は存在しません。

a=-2の場合
(x^2)-2x+1=(x-1)^2=0 重解x=1
この場合はx=1で分母=0なのでf(1)→∞、x≠1のxで最小値はとりますが、最大値は存在しません。

■2実数解をもつ場合（判別式D>0 つまり |a|>2の場合）
分母が2実数解の所でゼロになり,その外側で分母＞0、その間では分母＜0
となります。従ってこの2つの実数解の前後でf(x)は-∞と∞となるので最大値も最小値も存在しなくなります。

以上から、最大値および最小値を持つaの範囲は|a|<2(-2<a<2)であり、
最大値は持つが最小値を持たないときのaの値はa=2となるかと思います。

【検証】a=2の場合のグラフ（x→0でf(x)→-∞）、|a|<2(たとえばa=-1.5およびa=1.5の場合）のグラフを(x=-3～3の範囲のf(x)を計算して）描いて確認してみてください。理解が深まると思います。

お礼

ご丁寧に有難うございました。
回答を元に熟考してみます。

回答No.2

R_Earl

f(x)= x/x^2 + ax + 1のまま(つまり文字式aが入ったまま)f'(x)を求め、
極大値や極小値をとる条件を考える必要があると思います。

仮に問題の式がf(x) = x/(x^2 + ax + b)で正しい場合、
分母x^2 + ax + bが0になるxの値が
「2種類ある場合」と「1種類しかない場合」と「存在しない場合」とで
y = f(x)のグラフの形が変わります。

この二つを考慮すれば何とかなりそうな気がします。

補足

書き方が悪くて申し訳ないです。
f(x) = x/(x^2 + ax + b)です。

＞「2種類ある場合」と「1種類しかない場合」と「存在しない場合」
という事は分母のx^2 + ax + bについて判別式を作るということでしょうか？
度々すいません。。

回答No.1

info22_

他人に分かる式の書き方をして下さい。
f(x)の式の分母がどこまでか分かりません。

f(x)=x/(x^2 + ax + b)
で良いですか？

>この条件時でb=1は出ました。
どのように導出したのかの途中計算を補足に書いてから、質問してください。

補足

書き方が悪くて申し訳ないです。
f(x)=x/(x^2 + ax + b) です。

ここからf(x)の微分で f'(x)=-x^2 + b/(x^2 + ax + b)^2 になり、
原点でy=xに接する故に f'(0)=1 即ち b/b^2=1からb=1を出しました。