最小値と最大値

質問

二次関数y=ax＾2+2ax+b(-2≦ｘ≦1）の最大値が6、最小値が3であるように定数a,bの値をもとめよ

二次関数y=ax＾2-4x+a+1の最大値が1であるような定数aの値を求めよ

以上の2問がとけずにこまってます。

1問目はy=a(x+1)＾2-a+b
に変形はできるのですが、この後どうすればいいのかわかりません、
また、2問目にいたってはどこをどうすれば平方完成できるのかもわかりません

どなたかおしえてください
よろしくおねがいいたします

回答No.2

maa45ki5g · ベストアンサー

y=a(x+1)＾2-a+bだと頂点の座標が(-1, -a+b)ですが
上開きか下開きか分からないので場合分けします。

a>0だとすると、
このグラフの-2≦ｘ≦1の範囲での最大値は
x=1のとき。y=f(x)とすると
f(1)=a+2a+b=6
最小値は頂点のy座標になるので-a+b=3
これを連立方程式として解く。

a<0だとすると
-2≦ｘ≦1の範囲での最大値は
頂点のy座標、
最小値はf(1)なので
同様に連立させて解く。

連立方程式を2つ解くんだけど、
それぞれ答えがa>0やa<0を満たせているかどうか
チェックを忘れずに。（もし満たせてなかったらボツ）

2問め
x^2の係数でさいしょ2項をくくる
y=a(x^2-4x/a)+a+1
かっこの中を平方完成する
=a{(x-2/a)^2-4/a^2}+a+1
{ }を外す
=a(x-2/a)^2-4/a+a+1
1問めとは別口の問題ですか？だとしたら
xの範囲が決まってないのでa<0で下開きのグラフで
頂点のy座標が最大値になってもらわないと困るので
-4/a+a+1=1
これも、答えがa<0に合ってるかどうかチェック！

ちなみにこれらは2問とも「二次関数！！」って書いてあるからa=0の場合については考えなくてもいいけど
もし「二次関数だ！」と書いてない場合はa=0だったらどうなるかも考慮に入れないといけないですよ～～

回答No.3

j-mayol

回答　Ｎｏ．１に答えた者です。
恥ずかしながら間違っております・・・
２の最大値は　－４／ａ＋ａ＋１　です。
－ａ／４と間違ってしまい、最後の行がおかしくなってます。
すみません・・

回答No.1

j-mayol

1問目
２次の項の係数がａなので、ａの正負で場合わけすると解答にたどり着きます。
　ａ＞０のとき
　　最小値　－ａ＋ｂ　最大値　ｘ=１のとき　３ａ＋ｂ
　　（最大値はこの二次関数の軸がｘ＝－１だから）
　ａ＜０のとき
　　最小値　ｘ＝１のとき　３ａ＋ｂ　最大値　－ａ＋ｂ
　　後は連立方程式にして解くといいです。
２問目
　ａでくくって平方完成します。
　ｙ＝ａｘ＾２－４ｘ＋ａ＋１
　　＝ａ（ｘ＾２－４／ａｘ）＋ａ＋１
　　＝ａ（ｘ－２／ａ）＾２－４／ａ＋ａ＋１
　ｘが全ての実数をとるので最大値を持つ→上に凸
　よってａ＜０となり最大値は　４／３ａ＋１