対数関数の最大値

質問

底を「log_○ 真数」　の○の部分とします。
問題が
y=(log_2 x)^3 -log_2 x^3
(0<x≦2)の最大値を求めなさい。
　答えはx=1/2のとき最大値２　です。

log_2 x^3
は 3log_2 xと変形できますが、
(log_2 x)^3 の3を前にもってきちゃまずいですよね。
どう式変形していけばいいのかわかりません。
アドバイスお願いします。

回答No.1

kano_sr · ベストアンサー

ヒント：log2x　=　t　と置き換えてみましょう！！！
y=t^3-3t　となります。
何か見えてきませんか？
範囲も0<t≦1に変化すると思います。
考えて、考えて、考えて得たものは大きいと思いますので、
これをヒントにがんばってください。

回答No.4

elmclose

#1の方が書かれていることを少し補足（一部訂正）しますと、

(log_2 x)は単調増加します。
そして、0＜x≦2　の範囲で－∞＜(log_2 x)≦１ですね。

あとは、#1の方が
y=t^3-3t　
と書かれている通りです。

回答No.3

springside

この問題を、「対数関数の最大値」の問題と見なしている時点でダメです。

No.1さんのようにlog_2 x = tとでもおけばわかりますが、この問題は対数関数の最大値の問題ではなく、「３次関数の最大値」の問題です。

回答No.2

veldan

kano_srさんの良回答の補足（蛇足？）になりますが、高校数学における最大最小を求める問題は基本的に

・二次関数および一次関数を利用するもの
・導関数を利用するもの（三次関数以上）
・グラフ描画を利用するもの

ですので、いずれかの形になるよう考えればすぐにわかる
と思います。