幾何学の問題

質問

次の問題が分からないです。

一点Oで交わる3本の直線L1,L2,L3を考える。
それらと点O以外の点で交わる2本の平行な直線L,L'との交点を順にA,B,CとA',B',C'とすると、
　　　　AB:BC=A'B':B'C'
が成り立つことを示せ。

相似を使うのかと考えてみましたが、どうも答えに近づかないです。
教えてください。

回答No.4

KEIS050162 · ベストアンサー

＞図は書いているのですが、うまく回答に導けません。

まず２本の平行線Ｌ，Ｌ’を引き、それらと平行でない適当な直線L1を引いて、Ｌ，Ｌ’との交点をA、A’としてみてください。
次に、Ｌ１上の二本の平行線の間の適当な点Ｏでと交わる、L1と平行でない直線L3を引いて、Ｌ，Ｌ’との交点をC,C'としてみてください。

直感的に△ＡＯＣと△Ａ’ＯＣ’が相似になることが分かります。実際に証明するのも錯角と対頂角の関係からすぐに分かります。

あとは、Ａ、Ｃの間に点Ｂをとって、ＢからＯを通る直線Ｌ２を引いて、Ｂ，Ｂ’の点を描いてみてください。

これら３つの直線と２本の平行線が作る三角形は先ほどと同様にすべて相似になることが分かります。

また、どれかの三角形の辺の比を仮にｍ：ｎとでもおいてみると、すべての三角形の比はｍ：ｎになることが分かるかと思います。

ご参考に。

お礼

回答ありがとうございます。

わかりやすい説明のおかげでよくわかりました。

参考にさせていただきます。

回答No.5

KEIS050162

＃４です。

蛇足ですが、点Oが平行線L,L'の外側にある場合でも同じです。それぞれの三角形は同位角が等しいので相似になります。
もし、条件として明記されていないのであれば、平行線の間にOがある場合と、外側にOがある場合で、双方ともそれぞれの三角形が相似になることを示した方がよいでしょう。

一応、その他の条件としては、L1≠L2≠L3を前提として、かつそれらはL,L'と平行でない（平行だと交点が出来ないですから）という前提です。
L＝L'でも一応成り立ちますね。（相似ではなく合同になるだけです）

ご参考に。

回答No.3

ferien

＞一点Oで交わる3本の直線L1,L2,L3を考える。
＞それらと点O以外の点で交わる2本の平行な直線L,L'との交点を順にA,B,CとA',B',C'とすると、
＞　　　　AB:BC=A'B':B'C'
＞が成り立つことを示せ。

＞相似を使うのかと考えてみましたが、
相似を使ってできます。ＬとＬ'はＯを挟んで両側に引きました。後は上の通りです。
△ＡＯＢと△Ａ'ＯＢ'とで、
∠ＡＯＢ＝∠Ａ'ＯＢ'（対頂角が等しい）
∠ＯＡＢ＝∠ＯＡ'Ｂ'（Ｌ//Ｌ'より、錯角が等しい）
よって、２つの角が等しいので、
△ＡＯＢ相似△Ａ'ＯＢ'
よって、ＡＢ：Ａ'Ｂ'＝ＯＢ：ＯＢ'　…（１）
△ＢＯＣと△Ｂ'ＯＣ'とで、同様にして
２つの角が等しいから
△ＢＯＣ相似△Ｂ'ＯＣ'
よって、ＢＣ：Ｂ'Ｃ'＝ＯＢ：ＯＢ'…（２）
（１）（２）より、
ＡＢ：Ａ'Ｂ'＝ＢＣ：Ｂ'Ｃ'だから、
ＡＢ・Ｂ'Ｃ'＝Ａ'Ｂ'・ＢＣ
両辺をＢＣ・Ｂ'Ｃ'で割って
ＡＢ／ＢＣ＝Ａ'Ｂ'／Ｂ'Ｃ'
よって、AB:BC=A'B':B'C'

図を描いて確認して下さい。

お礼

回答ありがとうございます。

分かりやすく教えてくださってありがとうございます。

参考にさせていただきます。

回答No.2

wakakusa01

図を描いて考えましょう。LとL1,L2,L3の交点をA,B,Cとする。L'とL3,L2,L1との交点をA',B',C'とする。交点の命名の順序が逆だとおかしくなるでしょう。同じ方向からA,B,CとA',B',C'と命名しないといけませんよ。あとは、A'B':BC=OA':OC=OB':OB=OC':OA＝B'C':ABからAB:BC=A'B':B'C'が成り立ちます。

お礼

回答ありがとうございます。

図は書いているのですが、うまく回答に導けません。

参考にさせていただきます。

補足

>A'B':BC=OA':OC=OB':OB=OC':OA＝B'C':ABからAB:BC=A'B':B'C'が成り立ちます。

とありますが、どうしてAB:BC=A'B':B'C'が成り立つのかわからないです。

理解できず、すみません

回答No.1

shintaro-2

図を描いてみましたか？

△ABOと△A'B'O

△BCOと△B'C'O
で考えて見てください。

L,L'をOに対して同じ側に引くと考えやすいと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

図は何度も書いているのですが、うまく解けないです。

回答内容を参考にさせていただきます。