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ベクトル 面積

面積1の△OABがある 実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすときOP↑=sOA↑+tOB↑で表される点Pが動く範囲全体の面積はいくつか また「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすとき」という部分が「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2と2s+t≦2を満たすとき」となったときの点Pが動く範囲全体の面積はいくつか はじめから解き方がわからないので教えてください

みんなの回答

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.6

ベクトルを習ったなら、一次変換は知っていますね? 点 (s,t) に対してベクトル OP↑ を対応させる写像は、 一次変換になっています。(確認してみてください!) 一次変換では、図形の面積は定数倍されます。 (s,t) が動く平面上の単位正方形 0≦s≦1, 0≦t≦1 が O,A,B を三頂点とする平行四辺形に移ることを見れば、 この一次変換が、面積を(平行四辺形OABXの面積)倍にする ことが判ります。後は、(s,t) が描く各図形の面積を求めて、 (平行四辺形OABXの面積)すなわち(△OABの面積の2倍)を 掛けておけば完了です。

noname#156647
質問者

補足

すみません 高校の数Bなので一次変換やベクトルの写像とかは習っていません 先に言うべきでした

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  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.5

ANo.4です。 補足について >>sをx,tをyとみたグラフ(直線)を描き >方程式s+2t=2のグラフですか? そうです。 >>s≧0,t≧0で、s+t≦1の範囲を点Pが動くときの△OABの面積を1と見なす。 >何故見なせるのですか? OP↑=sOA↑+tOB↑が与えられたとき、通常は、s+t=1で、Pが直線AB上にあることを表します。 問題は、Pの動く範囲が面積で表される(△OABの面積=1)ということなので、 s+t≦1(s≧0,t≧0)と考えられます。 >>このとき、△OABの面積は、|OA|=|OB|=1だから、(1/2)×1×1=1/2 >面積を1と見なしたのに面積が1/2とはどういうことですか? グラフに図示することによって、求められる実際の面積は1/2です。 問題は、△ABCの面積を1と見たとき、他の面積は、どのようになるかということなので、 1/2:実際の面積=1:求める面積 と比を考えることで求めます。 (ANo.4の回答よりも、この方が分かりやすいかもしれません。) どうでしょうか?

noname#156647
質問者

補足

>OP↑=sOA↑+tOB↑が与えられたとき、通常は、s+t=1で、Pが直線AB上にあることを表します。 △OABでOが始点のとき△OAB内に点PがあるときOP↑=sOA↑+tOB↑ではないんですか? >Pの動く範囲が面積で表される(△OABの面積=1)ということなので、 s+t≦1(s≧0,t≧0)と考えられます。 Pの動く範囲が面積で表されると何故s+t≦1と考えられるんですか?

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  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)
回答No.4

グラフを描いて面積を求めるのがいいと思います。 sをx,tをyとみたグラフ(直線)を描き、そのグラフと、x軸,y軸に囲まれた部分の 面積を求めて、△OABとの比を出します。 >面積1の△OABがある s≧0,t≧0で、s+t≦1の範囲を点Pが動くときの△OABの面積を1と見なす。 このとき、△OABの面積は、|OA|=|OB|=1だから、(1/2)×1×1=1/2  >実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすときOP↑=sOA↑+tOB↑で表される >点Pが動く範囲全体の面積はいくつか グラフより、|OA|=2,|OB|=1だから、このときの面積=(1/2)×2×1=1 △OAB=1のときの面積をS1とすると、△OAB:S1=1/2:1=1:2から、  よって、S1=2△OAB=2×1=2 >また「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2を満たすとき」という部分が >「実数sとtが共に0以上でs+2t≦2と2s+t≦2を満たすとき」となったときの >点Pが動く範囲全体の面積はいくつか s+2t=2と2s+t=2の交点の座標は、連立で解くと(s,t)=(2/3,2/3) グラフを描くと、x=2/3のところで、台形と直角三角形に分かれる。 このとき、面積=(1/2)・(1+2/3)・(2/3)+(1/2)・(2/3)・(1/3)=(5/9)+(1/9)=2/3 △OAB=1のときの面積をS2とすると、△OAB:S2=1/2:2/3=3:4から、  よって、S2=(4/3)△OAB=(4/3)×1=4/3 どうでしょうか? 図を描いて計算を確認してみて下さい。

noname#156647
質問者

補足

>sをx,tをyとみたグラフ(直線)を描き 方程式s+2t=2のグラフですか? >s≧0,t≧0で、s+t≦1の範囲を点Pが動くときの△OABの面積を1と見なす。 何故見なせるのですか? >このとき、△OABの面積は、|OA|=|OB|=1だから、(1/2)×1×1=1/2 面積を1と見なしたのに面積が1/2とはどういうことですか? 質問が多いですができたら教えてください

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回答No.3

No. 2 です。三角形OABの面積が与えられているのですよね。 忘れてました。 三角形OABの面積 = |a X b| / 2 =1。これを No.2 の答えに代入すると 答えは 2, 4/3

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回答No.2

Oを基準とするベクトルOA, OB を a, b とすると s = 2u とすると u + t ≦ 1 このとき OP = u・2a + t・b つまり、Pの範囲はベクトル2a, bが作る3角形なので 面積 = |2a X b| / 2 = |a X b| (X は外積) s+2t=2と2s+t=2 の交点は s = 2/3, t = 2/3 この点を G とすると ベクトルOG = (2/3)a + (2/3)b = g s+2t≦2と2s+t≦2 を満たす領域は a と g、b と g がなす2個の三角形なので 合計の面積は |a x g|/2 + |b X g| / 2 = (1/3)|a x b| + (1/3)|a x b| = (2/3)|a x b|

noname#156647
質問者

補足

すいません 知ってる範囲を書くべきなんですね 数IIBまでしかわからないのでできたら外積を使わない解き方を教えてください

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  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.1

置換積分を知らないで 微分方程式を扱おうとするくらいだから あなたが何を知ってるのかを明確にしないと 効率が悪いです. 答えは 最初の方は 2 次の方は 4/3 だと思う. 予備知識としてはベクトルと内分・外分点の式の理解が必須. 数学IIだっけ,ベクトルをやるのって. 内分・外分の式が実は「直線の方程式」と関係してるという見方を知ってると 一瞬で終わるけど,掲示板でこれを伝えるのは困難だから 学校で先生に聞けばいい. マークシートで答えだけだせばいいってなら A(2,0),B(0,1)とでもやって 絵を描けば分かると思う. 記述式でも実は本質的には大差ない. ちなみに OAとOBのベクトルがあるとき sOA+tOB (s+t=1)の終点が描く図形がわかるのであれば この問題は解けてもいい. このsとtが実は「座標」に相当するというのが重要.

noname#156647
質問者

補足

すみません 知ってる範囲を書かなきゃいけないんですね 一応数IIBまでならわかります この問題は解けてもいい. とはどういうことですか?

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