積分の質問です

質問

S f(t) dt = 1/x で積分区間がa～x のとき、両辺をxで微分するとf(x)=-1/x^2

でも元の式に代入して検算すると定数項が-1/a になり0にはなりません。

何がおかしいのでしょうか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

∫[a,x] f(t) dt = 1/x　…(☆)
f(x)の原始関数をF(x)とおくと
∫[a,x] f(t) dt=F(x)-F(a)
x=aとおくと右辺=F(a)-F(a)=0
ところが
　G(x)=1/xは G(a)=1/a≠0なので G(x)≠F(x)-F(a)
つまり、(☆)の左辺の定積分は右辺の1/xとなりえない（＝1/xと置けない）
「成り立たない式」ということです。
f(t)に対して、積分の上限のx（や下限のa）は「tやf(t)と無関係な定数である」ということです。

正しくは
∫[a,x] f(t)dt=F(x)-f(a)
つまり
∫[a,x] (-1/t^2)dt=1/x-1/a
でなければならないということです。

>何がおかしいのでしょうか？
(☆)の式が成り立たない式だと言うことです。

成り立たない式を使って、f(t)を求めても
>定数項が-1/a になり0にはなりません。
といった間違った結論が導びかれても不思議ではないでしょう。

回答No.1

Tacosan

もとの式がおかしい.