逆関数を利用した定積分の計算
参考書の模範回答を読んでも分からなかったので質問します。
f(x)=log[{-1+√(1+4x)}/2]とおき、関数y=f(x)(x≧2)とその逆関数y=g(x)(x≧0)について考える
問1:g(x)をxの式で表せ
問2:a≧2のとき、∫[2,a]f(x)dx=af(a)=∫[0,f(a)]g(x)dxを示せ
問1は分かりました。
g(x)=e^(2x)+e^x(x)(x≧0)
問2について(模範回答より)
y=f(x)に対し、x=g(y)であるからdx=g'(y)dy
f(x)はx≧2に於いて増加関数である。
a≧2のとき、xとyの対応は次のようになる
x:2 --> a
y:0 --> f(a)
∫[2,a]f(x)dx
= ∫[0,f(a)]y*g'(y)dy
= [y*g(y)]_|y=0,f(a)|-∫[0,f(a)]g(y)dy
= f(a)*g(f(a))-∫[0,f(a)]g(y)dy ・・・(1)
= a*f(a)-∫[0,f(a)]g(x)dx ・・・(2)
なぜ(1)から(2)が導かれるのか教えてください。
(1)の∫[0,f(a)]g(y)dyが(2)の∫[0,f(a)]g(x)dxになるのは
おそらく「定積分は、関数の形と上端、下端の値で決まり、変数に取った文字には無関係」、つまり
「∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]f(t)dt」から導かれるのでしょうが(間違っていたら指摘してください)、
(1)のf(a)*g(f(a))が(2)のa*f(a)になるのが理解できません。
おねがいします。
お礼
なるほど!大変分かりやすかったです。回答ありがとうございました。