積分の考え方

質問

高校数学IIの積分の学習を始めたばかりです。参考書に積分が面積を表す説明が載っていました。そこでは関数f(x)≧０とx軸との間の面積を使って説明がされていたのですが、f(x)≦０の場合そのまま∫f(x)dxで考えてはいけない理由が見えてきません。何故わざわざ関数をx軸に関して反転させなければならないのでしょうか？何か明確な（当たり前な？）理由があるのでしょうか？宜しくお願いします。

回答No.2

33550336 · ベストアンサー

貴方の参考書にどのように説明されているのかわかりませんが、私の手元にある教科書では、f(x)≧０のとき、y=f(x)とｘ軸の間にある図形のｘ座標がａからｘまでの部分の面積をS(x)とおいたとき、S(x)がf(x)の原始関数になることを、大雑把に証明しています。
おそらく高校の参考書ではほとんどがこのような方法をとっており、その途中で、
(S(x+h)-S(x))/=h*f(t) (ただし、x≦t≦x+h)
というような式がでてきます。
しかしこれはf(x)≧０のときのみ成立するのであって、f(x)≦０のときは、
(S(x+h)-S(x))/=-h*f(t)
となります。
これを修正するために関数を反転させているのです。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
＞(S(x+h)-S(x))/=-h*f(t)
なるほど、納得しました。ありがとうございます。

回答No.3

sanori

再び登場。

＞＞＞
x軸をまたいだ範囲の面積を求める場合は、マイナスの面積という考え方をしていては間違える可能性が出てきますか？やはりグラフを反転させ面積をプラスにするという習慣はつけたほうがよいでしょうか？

習慣ということではなく、その時々で判断すればよいことです。
「面積を求めなさい」という問題が出されてしまえば、Ｘ軸より下の部部の面積については絶対値を取る（というか反転させる）しかありません。

ただ、「（正の）面積を求めなさい」という限定付きの問題が出されたときを除けば、日頃、感覚として、「マイナスの面積」をイメージしておくことを、個人的にはお勧めします。

お礼

回答ありがとうございます。
かなり参考になりました。

回答No.1

sanori

こんばんは。

ｆ（ｘ）≦０　の場合、定積分の結果はマイナスの値になります。
マイナスの面積という考え方をしてよい場合は、ｆ（ｘ）の正負にこだわる必要はありません。

たとえば、ａ、ｂが正の数であるとして、
ｆ（ｘ）　＝　ａ　を区間０～ｂ　で積分することは、底辺がｂ、高さがａの長方形の面積を計算していることになります。
ここで、
ｆ（ｘ）　＝　－ａ　とすると、どうなるでしょうか？
高さがマイナスで、面積もマイナスの長方形ということになります。
しかし、図形的に見れば、長方形がＸ軸の上にあろうと下にあろうと、プラスの面積の長方形とするのが自然です。

つまり、「マイナスの面積」という概念を嫌う場合は、ｆ（ｘ）≧０　という決まりごとを設けるわけです。

「マイナスの面積もある」という考え方で積分を理解したほうが、物理学などでは重宝するので、私は好きですが。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
x軸をまたいだ範囲の面積を求める場合は、マイナスの面積という考え方をしていては間違える可能性が出てきますか？やはりグラフを反転させ面積をプラスにするという習慣はつけたほうがよいでしょうか？なにぶん初心者なもので不安です。