積分で困ったことに

質問

積分で質問なんですが

次の曲線または直線によって囲まれる図形の面積Sで、

y＝x^2と、y＝2x＋3の場合、交点がx＝－1、3と出まして、

S＝∫(－1→3){2x＋3－x^2}
＝－∫(－1→3){x^2－2x-3}となりまして、
∴S＝(－1)×－{3－(－1)}^3/6で、答え32/3で合点。

y＝x^2＋2x－5と、y＝－x－1の場合も、同様にS＝－(α－β)^3/6が使えるんですが、

y＝x^2－4x＋1と、y=－x^2－2x＋5の場合は、交点がx＝－1、2となり、
－1×－{2－(－1)}^3/6＝9/2≠9(解答)となって違ってきます。
これを、普通に[　]の中に積分したもの(－2x^2＋2x＋4)を入れて計算すると正解になるんですが。
これは、使える場合と使えない場合があるんでしょうか？

参考書には、最初の問題の横に－(α－β)^3/6が使えると書いてあるんですが、そうならば、後者の問題も使えると思ったんですが。

恐れ入りながら、説明お願い致します。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

きちんと理屈をわかってないだけです．
自分が何をしているのか，何を求めたいのか，
公式の前提・適用条件は何か，などを把握してますか？

>y＝x^2＋2x－5と、y＝－x－1の場合も、同様にS＝－(α－β)^3/6が使えるんですが、

こんなのを「公式」で「覚えたら」計算間違いするにきまってます．
計算の簡略化として覚えておけば便利なのは

∫_a^b (x-a)(x-b) dx = -(b-a)^3/6

です．
＃他にもいろいろあります．
＃∫_a^b (x-a)^m(x-b)^n dx
＃なんかも綺麗になるのです

これは，y=(x-a)(x-b)とx軸が囲む「面積」ですが，
y軸の下にあるので「マイナス」がついているのです．

>y＝x^2と、y＝2x＋3の場合、交点がx＝－1、3と出まして、

これの場合は
∫_{-1}^3 ( (2x+3) - x^2 ) dx
= -∫_{-1}^3 (x+1)(x-3) dx = - ( -(3+1)^3/6 ) = 32/3

>y＝x^2－4x＋1と、y=－x^2－2x＋5の場合は、交点がx＝－1、2となり、

これの場合は
∫_{-1}^2 ( (－x^2－2x＋5) - (x^2－4x＋1) ) dx
= -2 ∫_{-1}^2 (x+1)(x-2) dx
= -2 ( -(2+1)^3/6 ) = 9

お礼

＞きちんと理屈をわかってないだけです．
自分が何をしているのか，何を求めたいのか，
公式の前提・適用条件は何か，などを把握してますか？

自分の怠惰な覚え方を思い知らされました。
今度からは、公式の成り立ちを意識していきたいです

ありがとうございました！

回答No.4

noname#56760

公式ですが、導く過程をご存知ですか？
a≦bとして
∫[a→b](x-a)(x-b)dx
=[(x-a)(x-b)^2/2-(x-b)^3/6][a→b]
=－(b-ａ)^3/6
となっています。
これではｘ^2の係数が1の時しか使えませんので
そうでない場合も考えて
a≦bとして
∫[a→b]p(x-a)(x-b)dx
=p[(x-a)(x-b)^2/2-(x-b)^3/6][a→b]
=－p(b-ａ)^3/6
となります。
これを単なる計算問題でなく、グラフのイメージで考えると、
*f(x)=p(x-a)(x-b)
*g(x)=0・・・ｘ軸
∫[a→b]p(x-a)(x-b)dx=∫[a→b]{f(x)-g(x)}dx
から
放物線とｘ軸で囲まれる面積の-1倍であることが分かります。
モデルとして、ｘ軸と、それに交わる放物線を使いましたが、
f(x)-g(x)＝p(x-a)(x-b)を満たすf(x),g(x)なら全て同じ結果になります。
================================================================
>>y＝x^2－4x＋1と、y=－x^2－2x＋5の場合は、交点がx＝－1、2となり、
－1×－{2－(－1)}^3/6＝9/2≠9(解答)となって違ってきます。
これを、普通に[　]の中に積分したもの(－2x^2＋2x＋4)を入れて計算すると正解になるんですが。
================================================================
上の式で見た、a,b,pに相当する値が必要です。
a=-1 b=2
で後はｐが要ります。
f(x)-g(x)を求めれば分かりますが、ｐ＝-2です。

お礼

なるほど！、ｐに相当するもの・・・-2(x+1)(x-2)ならば-2、
(α-β)^3/6は、xの係数が1のときに限定、
正確にはp(α-β)^3/6ということですかー。
参考になりました！ありがとうございます！！

回答No.3

age_momo

>参考書には、最初の問題の横に－(α－β)^3/6が使えると書いてあるんですが、
>そうならば、後者の問題も使えると思ったんですが。

困った思考方法ですね。こういう知識を得た時はなぜ使えるかを、それが
手に負えないときはせめてどの範囲で使えるかをチェックしましょう。

質問者さんは部分積分を使えますかね？(今の高校生の履修スキームは知りません)
分からなければ読み飛ばしてください。

ある2次方程式が解α、βを持っているなら
a(x-α)(x-β)と因数分解できます。そしてこのα→βの範囲で積分するなら

∫[α→β]a(x-α)(x-β)dx=a/2[(x-α)(x-β)^2][α→β] - a/2∫[α→β](x-β)^2dx
=-a/6[(x-β)^3][α→β]=a/6 (α-β)^3

ということで参考書に書いてある通りの計算結果になります。(参考書はa=-1ですので)
ところで3つ目の式ですが、因数分解した時に

-(x-α)(x-β)

になりますか？係数がついていませんか？ついているならこの式変形全てに
その係数がかかるはずですね。ということは計算結果も係数倍されるはずですね。
だからその分が違ってきているのです。

お礼

回答ありがとうございます

「ほんとうに、ものに出来た公式」というのを意識していきたいです！

回答No.1

koko_u_

>これは、使える場合と使えない場合があるんでしょうか？
その「公式」らしきものをどうやって求めているかを考えれば、容易にわかるでしょう。

お礼

公式というものを漠然と使ってました
正確に使えるようにしていきたいです

ありがとうございました