逆関数について

質問

題名の通りなんですが逆関数というものが教科書を読んでも理解できません。例えばy=3x-4の逆関数はこの式をx=○○の式に書き換えてから、xとy入れ替えるというのは分かります。ですが、

y=tanxの逆関数をy=g(x)とするとき、g'(1)の値を求めよ。

という問題で解答に

y=tanxの逆関数y=g(x)ではx=tanyであるから...

という説明があり何をやっているのかさっぱり分かりません。y=tanxをx=○○の式に変換するのは不可能ですよね？逆関数の意味を間違って捉えてるからかもしれませんが、先へ進めません。アドバイスお願いします。

回答No.2

wolv · ベストアンサー

「y=tanxの逆関数をy=g(x)とするとき」
この記述がわかりにくい（同じ文字を違う意味で使っている）ので混乱しているのだと思います。

関数ｆと関数ｇが逆関数の関係にあって、
y=f(x)のとき、x=g(y)となります。

質問文の問題では、（xを入力（関数の引数）yを出力とする表記に見慣れているから(?)）y=g(x)と書いていますが、y=tan xのx,yと同じ値というわけではありません。混乱を避けるためには、別の文字を使って
　y1 = f(x1)
　y2 = g(x2)
と書いてみるといいと思います。
さてここで、fとgは逆関数なので、
　x1 = g(y1), x2 = f(y2)
が成り立ちます。解答の「逆関数y=g(x)ではx=tany」は、この２番目の式「x2 = f(y2)」のことですね。つまり、逆関数をy=g(x)とし、このx,yを使うと、x=f(x)の形に書いた時、fはgの逆関数つまりtanになります。

お礼

書き直したら確かに出来ました！ありがとうございます！

回答No.4

springside

逆関数については、既に解答がありますのでおわかりと思います。
g(1)というのは、tan[？]=1になるような、？のことですから、？=π/4ですね。

求めるべきはg(1)ではなくg'(1)のようなので、tanの逆関数の微分を導きます。

y=g(x)=tan^(-1)x　（←tanの逆関数です）とおいて、dy/dxを求めます。

まず、逆関数の定義により、
tan(y)=x
です。
両辺をxで微分すると、
d/dx tan(y) = 1
d/dy tan(y) dy/dx = 1　（←合成関数の微分法です）
1/cos^2(y) dy/dx = 1
dy/dx=cos^2(y)
となります。

ただ、今欲しいのは、「dy/dxをxを用いて表すこと」なので、この式を変形します。

sin^2(y)+cos^2(y)=1の両辺をcos^2(y)で割ると、
tan^2(y)+1=1/cos^2(y)
となるので、
cos^2(y)=1/{1+tan^2(y)}
=1/(1+x^2)
となります。

以上により、
dy/dx=1/(1+x^2)
となり、要するに、
g'(x)=1/(1+x^2)
です。
よって、g'(1)=1/2となります。

お礼

ありがとうございます！

回答No.3

wolv

ちなみに、tanの逆関数をsin,cosなどを使って書くのは（たぶん）不可能です。

回答1にあるようにtan-1　（「-1」を右肩に書いて、逆関数であることをあらわす）という関数を使います。

「tan」の「逆関数」は、
「tan-1」(「tanの逆関数、またはアークタンジェントと読む」)

回答No.1

winterofmeei

『y=tanxをx=○○の式に変換するのは不可能ですよね？』

y=tanx　は　x=tan-1(y)という形に変形できます。

お礼

ありがとうございます！