内接円と傍接円の問題

質問

△ABCの内接円OとABの接点をD、∠A内の傍接円O´とAB、BCとの接点をそれぞれE,Fとします。
またO、O´の半径をそれぞれr,r´とし、BC=a、CA=b、AB=c、s=1/2(a+b+c)とします。

(1) AD=s-a、BD=s-b、BF=s-c、AE=s、DE=aを証明せよ。
(2)△ABCの面積をSとすると、S=rs=r´(s-a)を証明せよ。

(1)を自分なりに考えてみたのですが、途中で詰まりました。
ACと円Oとの交点をGとすると、
AD=AG=x BD=BF=y FC=CG=zとおける。
するとy+z=a…(1)、z+x=b…(2)、x+y=c…(3)となる。
((1)+(2)+(3))÷2より、x+y+z=1/2(a+b+c)=s…(4)
(4)-(1)よりx=s-a=AD
(4)-(2)よりy=s-b=BD

でもBD＝BFであるため、BF=s-cがありえないと思うのですが、
BF=s-cの証明が出来ないと後につながりません；
(2)を含めた後の証明の仕方、または私の証明の訂正を宜しくお願いします。
因みに高1で、まだ三角関数は習っていません。

回答No.2

debut

ＢＤとＢＦは等しくないです。
Ｏと辺ＢＣ との接点(ＯからＢＣにおろした垂線）と、Ｏ'と辺ＢＣ
との接点(Ｏ'からＢＣにおろした垂線）の位置は異なります。

ＡＣとＯ'との接点をＨとすればＡＥ＝ＡＨ
ＢＥ＝ＢＦ，ＣＨ＝ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝ａ－ＢＦだから
ＡＥ＝ｃ＋ＢＦ、ＡＨ＝ｂ＋ａ－ＢＦ
よって、ｃ＋ＢＦ＝ｂ＋ａ－ＢＦ
２ＢＦ＝ａ＋ｂ－ｃでＢＦ＝(1/2)(ａ＋ｂ－ｃ)＝ｓ－ｃ

ＡＥ＝ｃ＋ＢＦ＝ｓ，
ＤＥ＝ＢＤ＋ＢＦ＝ｓ－ｂ＋ｓ－ｃ＝ａ

Ｓ＝(ｒ/2)(ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ)＝ｒｓ・・・☆
△ＡＯ Ｄ∽△ＡＯ'Ｅより、ＡＤ：ＡＥ＝ｒ：ｒ'
(ｓ－ａ)：ｓ＝ｒ：ｒ'→ｒ＝(ｒ'/ｓ)(ｓ－ａ)を☆に代入で
終了です。

お礼

ようやく納得しました。傍接円・内心円の中心から下ろした垂線とBCとの接点は別物だったんですね。
丁寧な証明有難う御座いました！

回答No.1

take_5

基本的なことは下の↓ＵＲＬの載ってる。

http://yosshy.sansu.org/heron2.htm

＞(2)△ABCの面積をSとすると、S=rs=r´(s-a)を証明せよ。

この問題の中で、S＝r´(s-a)の証明もそんなに難しくはない。
でも、高1でこの問題は易しくない。　三角関数を使えないのは、ちょつと辛いね。。。。。。笑

お礼

教えていただいたサイト参考にさせて頂きました。
有難う御座いました！