五角形の外接円半径を求めたいのですが、、、

質問

はじめまして。
私は現在工学部に所属しているものです。

数学を専門にしている方にお聞きしたいことがあります。宜しくお願いします。

一般に三角形には必ず外接円が存在し、また四角形は向かい合った角度の和をπにすれば外接円はえられます。

三角形の外接円半径の値は
(a*b*c)/sqrt{(a+b+c)*(-a+b+c)*(a-b+c)*(a+b-c)｝

で求まり、四角形の外接円半径の値は
(1/4)/sqrt[(ac+bd)*(ad+bc)*(ab+cd)/{(s-a)*(s-b)*(s-c)*(s-d)}] s=(1/2)*(a+b+c+d)

で求まります。（以上wikipediaより参照）

次に五角形外接円半径に関して公式があるのかどうか調べましたところ、どうやら存在しないようなので、自力で計算して出せばよかろうと思い、実行してみました。

モデルとして各辺が1:√2:2:2√2:4でできている五角形の外接円半径を求めようとしました。（つまり辺が白銀比でできている五角形です。）

この五角形を、一つの対角線で三角形と四角形に分割します。

三角形の辺の長さ及び比は（1:√2:x）
四角形の辺の長さ及び比は（2:2√2:4:x）
対角線の長さをxとしました。

これらを用いて外接円半径を各々求めた後、等号をだせば、xが求まり、半径も求まるであろうと推測したわけです。

結果を述べますと
外接円半径をrとして
三角形→　r^2=(2*x^2)/{(1+√2+x)*(-1+√2+x)*(1-√2+x)*(1+√2-x)｝

四角形→r^2=｛16√2*(x+2√2)*(x+√2)*(x+4√2)｝/｛(6+2√2-x)*(6-2√2+x)*(2+2√2+x)*(-2+2√2+x)｝

となります。よって等号とって整理すると
(2*x^2)*｛(6+2√2-x)*(6-2√2+x)*(2+2√2+x)*(-2+2√2+x)｝
={(1+√2+x)*(-1+√2+x)*(1-√2+x)*(1+√2-x)｝*｛16√2*(x+2√2)*(x+√2)*(x+4√2)｝

となります。
この式をMaximaでexpandしたのち、gfactorやallrootsをしたのですが、値が出てこないか、数式が整理されて返ってくるばかりです。複素数の解すらでてきません。

→こんな感じ。allroots: expected a polynomial; found errexp1
-- an error. To debug this try: debugmode(true);

式を見れば分かるように七次方程式が出現してくるのですが、多項式の解の存在についてなにも知らないため、これ以上手が出ない状態となってしまいました。
直観としては、五角形を、一つの対角線を共有させて三角形と四角形に分割するという操作で、絶対的に外接円を持つ五角形が作れるのではないかと思っているのですが、それすらも自信が持てなくなってきました。

まとめますと
・先の等号ははたして解くことができるのか。
・五角形（拡張すれば、それ以上の多角形）には外接円が存在するのか、存在するときはどのような条件か？（但し正多角形は除く）

です。

宜しくお願いします。m(-_-)m

回答No.5

momordica

＃4です。
自分の回答見直したら、言葉がおかしいですね。
「適当な多角形が与えられた場合」じゃなくて「勝手な多角形が与えられた場合」ですね。
辺の比は、多角形ができるもの（最大辺の長さが、他の辺の和より短い）でさえあれば、どんなものでも構わないはずです。

回答No.4

momordica

証明はしませんが、適当な多角形が与えられた場合、辺の長さはそのままで、
各頂点の角度を適当に調整することで、円に内接する多角形は必ず作れるはずです。

円に内接する多角形の図を書きたいだけであれば、例えば、外接円の半径と辺の長さが
決まれば、その辺に対する中心角が求まりますから、各辺に対する中心角をすべて
足したものが2πになるような半径を探せば良いのではないかと思います。
このような方法であれば、半径を求めるついでに各辺に対する中心角も計算できますので、
図を描くには都合がいいのではないかと思います。

下の図はそのような方法で書いたものです。
計算はエクセルでやったので、数値に誤差がどの程度あるかは分かりません。

なお、質問者様の立てた七次方程式をそのまま解いてみてはいませんが、質問に書かれた
考え方で立てた式であるなら、おそらく下のように、辺がクロスする図形も、条件を満たす
解として出てくるはずです。
なお、図には質問者様の描かれた順番に辺が並ぶ場合の例だけを書きましたが、
三角形、四角形の外接円の半径は、辺の長さだけによって決まり、その順序には
関わらないので、辺の順序を入れ替えた図形になる場合もあるかと思います。
ちなみに図中のxの値は、問題の部分の長さを半径rから逆算したものです。

あと、解が存在するということと、その値が具体的に求められるということは別です。
何かの極限という形などでなく、具体的な解の値が必ず求められることが保証されているのは
4次方程式までです。
5次以上の方程式でも、係数の組み合わせによっては解けることももちろんありますが、
一般的には解けません。
近似値ならいくらでも計算できますが。

お礼

ありがとうございます！
今vectorworksというソフトを使って作図してみましたところ、五角形がかけました！

ただ、微妙に数値がずれているらしく、若干ずれてしまいた、、、

中心角から半径をもとめていけばいいとのことですが、情けないことに自分はその計算式がいまいち分からない状況です。できましたおしえていただけないでしょうか？

あと、七次方程式には解がないこともあるとのこと、有難うございます。これを解くのはもう諦めましたｗ

かさねがさね有難うございます。！！

回答No.3

yasei

任意のn角形において
外接円が存在する
⇔
各頂点からの距離が等しい点aが存在する。
すなわち頂点をPi(i=1,2,…,n)として
d(a,P1)=…=d(a,Pn)
となるaが存在する。

7次方程式の解は、複素解まで含め、必ず持つ。

お礼

ありがとうございます。

七次方程式に解が存在するとのことで、
今度はmaximaでsolve関数を試してみたのですが、
solve((2^(7/2)*x^7+111*x^6+11*2^(9/2)*x^5-360*x^4+2^(15/2)*x^3-167*2^(7/2)*x^3-1312*x^2+7*2^(11/2)*x+256),x);

の出力結果が

[0=2^(7/2)*x^7+111*x^6+11*2^(9/2)*x^5-360*x^4+(2^(15/2)-167*2^(7/2))*x^3-1312*x^2+7*2^(11/2)*x+256]

となってしまい、解を出してくれません。

ちなみに　solve(x^7-1,x);

は
[x=%e^((2*%i*%pi)/7),x=%e^((4*%i*%pi)/7),x=%e^((6*%i*%pi)/7),x=%e^(-(6*%i*%pi)/7),x=%e^(-(4*%i*%pi)/7),x=%e^(-(2*%i*%pi)/7),x=1]

と、きちんと解をはじき出してくれます。

なぜ旨く行かないのか、教えていたただけないでしょうか？

回答No.2

R_Earl

数学の専門家ではないのでずれた回答になるかもしれませんが…。

> 直観としては、五角形を、一つの対角線を共有させて三角形と四角形に分割するという操作で、
> 絶対的に外接円を持つ五角形が作れるのではないかと思っているのですが、
> それすらも自信が持てなくなってきました。

四角形には必ず外接円が存在するわけではありません。
よって、五角形を三角形と四角形に分けた際、
その四角形が「外接円を持たない円」であれば、
その五角形に外接円はできません。

仮に四角形が外接円を持っていて、なおかつ
「三角形の外接円」と「四角形の外接円」が一致すれば
(半径の長さが等しく、円の中心の位置が一致すれば)、
その五角形は外接円を持つことになります。

> ・五角形（拡張すれば、それ以上の多角形）には外接円が存在するのか、
> 存在するときはどのような条件か？（但し正多角形は除く）

平面上に3点とれば、その3点を通る円は1つに決まります
(3点が全部一直線上にならんでいなければ)。
なので三角形には必ず1個外接円が存在します。

四角形が外接円を持つための条件は、

四角形を対角線で二つの三角形に分けた時
(分けた三角形をそれぞれ三角形1, 三角形2と名付けます)、
「三角形1の外接円」と「三角形2の外接円」の半径・中心座標が一致する

です。
裏を返せば、この「半径・中心座標が一致した二つの円」が四角形の外接円です。

五角形でも同様のことが言えます。
五角形を三角形3つに分解し、その3つの三角形の外接円が
半径、中心位置共に一致していれば、その五角形は外接円を持ちます
（そしてその「3つの重なった円」が、五角形の外接円です）。

また、最初に円を書いてその円周上に適当に5点をとって直線で結べば、
「外接円のある五角形」となります。

お礼

ありがとうございます！

えーと、ということは
四角形と三角形に分割して、それぞれ外接円半径を求めるのではなく、
三角形三つに分割して、外接円半径を求めよ、ということでしょうか。

しかし最初はそれだと変数が二つになってしまいメンドイなと思い、四角形をつくったのです。

やってみます！

併しそれはそうとしても、先の七次方程式に解は本当にないのでしょうか、それが解せないのですが。

円に内接する任意の五角形が作りたいのではなく、
あるきまった比率をもった辺による五角形を作図したいがために、このようなめんどくさいことになっています。

有難うございます！！！

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

＞一般に三角形には必ず外接円が存在し、
＞また四角形は向かい合った角度の和をπにすれば外接円はえられます。
四角形の外接円は対角線で分割された 2つの三角形の外接円の半径に等しいということですよね。
（2つの三角形の外接円は一致しており、それは四角形の外接円でもある）

五角形であっても「円に内接している」のであれば、対角線で分割された三角形の外接円と同じになるはずです。
そして、対角線の長ささえわかれば（もしくは向かい合う角の大きさがわかれば）、
その三角形の外接円の半径は求められるはずです。

お礼

三角形三つに分割して、求めてみます。！
有難うございます！