数学の問題です。

質問

以下の証明を教えてください。

p_iはi番目の素数のことです。
α_iとβ_iは0以上です。
(a,b)はaとbの最大公約数です。
min(α,β)はαとβの最大公約数の最小の値です。
aは(p_i)^(α_i)の(1 ≦ i ＜ ∞)の範囲の積、bは(p_i)^(β_i)の(1 ≦ i ＜ ∞)の範囲の積です。

このとき、
(a,b)は(p_i)^[min{(α_i),(β_i)}]の(1 ≦ i ＜ ∞)の範囲の積であることを示せ。

数学記号使えなくてすみません。
問題がよくわからない場合は言ってください。
補足します。
よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

そうでしたか。

素因数分解の一意性は既知として、

自然数の列 γ_i と δ_i について
{(p_i)^(γ_i)}の積 が {(p_i)^(δ_i)}の積 で割り切れる必要十分条件は、
全ての i について γ_i ≧ δ_i であることです。
これは、有理数の範囲で {(p_i)^(γ_i)}の積 ÷ {(p_i)^(δ_i)}の積 を
実行してみれば判ります。
商が整数であれば、割り切れる。
商が整数でなければ、割り切れない ということですから。
これを使って…

まづ、{(p_i)^(α_i)}の積 も {(p_i)^(β_i)}の積 も
{(p_i)^min(α_i,β_i)}の積 で割り切れます。
α_i ≧ min(α_i,β_i), β_i ≧ min(α_i,β_i) だからです。

また、{(p_i)^(δ_i)}の積 が
{(p_i)^(α_i)}の積 も {(p_i)^(β_i)}の積も 割り切るならば、
α_i ≧ δ_i, β_i ≧ δ_i だから
min(α_i,β_i) ≧ δ_i, min(α_i,β_i) ≧ δ_i であり、よって
{(p_i)^min(α_i,β_i)}の積 は {(p_i)^(δ_i)}の積 で割り切れます。

{(p_i)^min(α_i,β_i)}の積 は a と b の公約数であり、
a と b の公約数は {(p_i)^min(α_i,β_i)}の積 の約数である
ことが示せましたから、
{(p_i)^min(α_i,β_i)}の積 は a と b の最大公約数ですね。

お礼

回答ありがとうございます。
しかし、後半部分からよくわかりません。

α_i ≧ min(α_i,β_i), β_i ≧ min(α_i,β_i)とα_i ≧ δ_i, β_i ≧ δ_i から、min(α_i,β_i) ≧ δ_i, min(α_i,β_i) ≧ δ_iなるのもよくわからないです。
もう少し詳しく教えて頂けるとうれしいです。

回答No.4

alice_44

最大公約数の定義を確認しましょう。
公約数のなかで、他の全ての公約数を約数に持つ
ものを「最大公約数」といいます。
A No.3 で確認したのが、定義通りの形です。
最大公約数の「最大」というのは、
上記のような整除関係を指して言うのです。
小学校の教科書には、話を短くするために、
その辺がテキトーに書いてある場合もありますが、
整数の大小比較のことではないんですよ。

お礼

なるほど～
なんとなく分かった気がします。
こんなに教えて頂いたのに、なんとなくですみません。
でも、いろいろ勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

α_i ≧ δ_i, β_i ≧ δ_i のとき、μ = min(α_i,β_i) と置いてみましょう。
μ = min(α_i,β_i) ⇔ α_i ≧ μ かつ β_i ≧ μ かつ (α_i = μ または β_i = μ)
ですから、
δ_i > μ と仮定すれば、δ_i > α_i または δ_i > β_i となってしまい、
α_i ≧ δ_i かつ β_i ≧ δ_i に矛盾します。
よって、背理法により、
α_i ≧ δ_i, β_i ≧ δ_i ならば、δ_i ≦ min(α_i,β_i) となります。

お礼

ありがとうございます。
そこはわかりました。

あと、
{(p_i)^min(α_i,β_i)}の積 は a と b の公約数であり、
a と b の公約数は {(p_i)^min(α_i,β_i)}の積 の約数である
ことが示せましたから、
{(p_i)^min(α_i,β_i)}の積 は a と b の最大公約数
の部分がよくわかりません。
公約数が一致したら、最大公約数といえるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44

＞ min(α,β)は、αとβの最大公約数の最小値です。

の一文を見ると、貴方自身が問題をよくわかっていないことが判ります。
(p_i)のmin｛(α_i),(β_i)｝乗 の 1≦i＜∞ の範囲での積
という表式には、貴方の言うような min は現れません。
命題の内容が理解できないままで、証明できる訳がない。
これは、数学記号が使えるかどうかの話ではなく、
問題の意味が理解できたがどうかの問題です。
題意まで戻ってやり直し。

補足

min(α,β)はαとβのどちらか小さい方の値のことでした。
すみません。