約数・倍数の問題

質問

次の３条件を満たす３個の整数a,b,c(0<a<b<c)の値を求めよ。

（Ａ）a,b,cの最大公約数は６

（Ｂ）bとcの最大公約数は24、最小公倍数は１４４

（Ｃ）aとbの最小公倍数は２４０

という問題の解き方を教えて下さい。

明日テストなので早めに回答してくださると助かります。

回答No.2

debut · ベストアンサー

(A)(B)より、k,m,nを互いに素として、a=6k,b=24m,c=24nと表せる。
そして、bとcの最小公倍数が144なので、24mn=144→mn=6
よって、m,nの値として考えられるのはm=1,n=6か、m=2,n=3・・・(1)
(なぜならば、b＜cなので）
(C)より、24km=240→km=10
よって、k,mの値として考えられるのはk=1,m=10かk=2,m=5かk=5,m=2・・・(2)
(なぜならば、a＜cなので)
(1)と(2)では、m=2が共通するので、k=5,m=2,n=3

お礼

m=1,n=6か、m=2,n=3までは求められたのですが、後が続きませんでした・・・。

回答ありがとうございました。

回答No.1

totoro7683

考えやすい条件から考えましょう。
最大公約数が２４というのはｂ、ｃは２４で割り切れることを意味し、最小公倍数が１４４ということはｂ、ｃは１４４の約数を意味します。（A),(C)も同様。
（B)からｂ、ｃは２４の倍数であり、１４４の約数です。
だからｂ、ｃは24,48,72,144のどれかになります。（＊）
（ｃ）からｂは２４０の約数となります。
（＊）よりｂは２４，４８のどちらかです。
もし、ｂ＝２４とするとa<bと（A)より、a=6,12,18
いずれの場合も最小公倍数は２４０にならない。
従ってｂ＝４８　（A)よりa=6,12,18,24,30,36,42
このうち（C)を満たすのはa=30のときのみ
ｂ＜ｃと（＊）よりｃ＝７２，１４４
c=144のときはｂとｃの最大公約数が４８となってしまう。
したがって（a,b,c)=(30,48,72)

お礼

回答ありがとうございます。理解できました！