最大公約数と最小公倍数

質問

３つの整数 a, b, 72 (a>b) の最大公約数は6, 最小公倍数は432 であるという。
a, b として考えられる数のうち、a-b の値が最も小さくなるような a, b の値？
解き方を教えてください
よろしくお願いします

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

４３２は２＾４＊３＾３、７２は２＾３＊３＾２です。
三つの整数の最大公約数が６であるということは、ａ，ｂは２＊３＾ｍ、２＾ｎ＊３と表される（順不同）ことを意味します。
　また、最大公約数が４３２であることから、ｍ＜＝３、ｎ＜＝４です。従ってａ，ｂの候補は（順不同）
６、１８、５４
および
６、１２、２４、４８
この中からａ－ｂが最小になるようにすると（ａ，ｂ）の候補は（１２，６）、（１８、１２）、（２４、１８）、（５４、４８）となりますが、前者の三組はいずれも７２の約数なので、７２を含めた三つの整数の最小公倍数が７２になってしまい不適です。従って
ａ＝５４、ｂ＝４８
となります。