3次式と2次式の最大公約数の問題

質問

・Xの3次式「X3乗＋2X2乗－X－2」とXの2次式「3X2乗＋a2乗X－2a」の最大公約数が「X＋1」であるとき、aの値を求めよ。

こちらの問題の答えは「１」とあるのですが、答えだけで解き方が載っていないので、求め方がわかりません。どなたか分かる方はいますでしょうか。

そもそも、「式と式の最大公約数」というものがどういうものなのかがつかめていません。最近、参考書で「式と式は割ることができる」ということを学習したばかりなのですが、最大公約数というとどういうことなのかが良くわかりません。それと、最大公約数があるということは、式と式にも最小公倍数もあるということでしょうか。

また、「式と式の最大公約数」というのはどの範囲(例えば数I、数Bなど)で出てくるものなのでしょうか。

質問の数が多くなってしまいましたが、分かる方がいましたら教えていただきたいです。

回答No.3

kkkk2222 · ベストアンサー

P(X)=(X^3)+2(X^2)-X-2
=(X^2)(X+2)-(X+2)
=[(X^2)-1](X+2)
=(X+1)(X-1)(X+2)

Q(X)=3(X^2)+(a^2)X-2a

最大公約(式）が、(X+1) → 共通因数は、(X+1)のみ。

Q(-1)=0
3-(a^2)-2a=0
0=(a^2)+2a-3
(a+3)(a-1)=0
a=-3,1

Q(1)≠0
3+(a^2)-2a=0
(a^2)-2a+3=0
aは実数解を持たないので、OK。

Q(-2)≠0
12-2(a^2)-2a=0
0=2(a^2)+2a-12
(a^2)+a-6=0
(a+3)(a-2)=0
a≠-3,2

三者を合わせると、a=1
----------------------------
この時
Q(X)=3(X^2)+X-2=(X+1)(3X-2)
最小公倍（式）は(X+1)(X-1)(X+2)(3X-2)

＞＞「式と式の最大公約数」というものが・・・。
　数の場合と同じ関係になります。

＞＞最大公約数というと・・・。
　式の場合は、最大公約(式）、最小公倍（式）と言うべきですが、
　慣習的に、最大公約数、最小公倍数　と呼んでいます。

＞＞どの範囲で出てくる・・・。
　最大公約数という言葉が使用されてなくても、
　因数分解の時の共通因数が、最大公約数に該当します。

　最小公倍数は数学IIの分数式の計算で、出てきます。

何れにしても、＜数＞→＜式＞と変化したと思えば、良いと思います。

お礼

詳しい解説、ありがとうございました。

回答No.2

Mr_Holland

多項式にも最大公約数や最小公倍数が存在します。
　整数の素因数分解が、多項式の因数分解にあたると考えられたらいいように思います。

　さて、問題の回答ですが、先ずはaの入っていない３次式のほうから因数分解します。

　　x^3+2x^2-x-2
　＝x^2*(x+2)-(x+2)
　＝(x^2-1)(x+2)
　＝(x+1)(x-1)(x+2)

　このことから、３次式に(x+1)を因数にもつことが確認でき、さらにこれが最大公約数なのですから、２次式は (x-1) や (x+2) を因数にもたないことが分かります。

　一方、２次式のほうですが、これをf(x)とおきますと、(x+1)を因数にもつことから、f(-1)＝０　でなければなりません。そのことからａに関する条件が得られますので、求めていきます。

　　f(x)＝3x^2+a^2*x-2a
　　f(-1)＝3-a^2-2a＝０
　⇔a^2+2a-3＝０
　⇔(a+3)(a-1)＝０
　∴a＝-3, 1

　ここで、ａの値が２つ求まりましたが、これらは単に２次式が(x+1)　を因数に持つ条件だけしか満たしていませんので、３次式に含まれている他の因数 (x-1) や (x+2) を持たないことを確認しなければなりません。
　そこで、得られたａの値について確かめていきます。

１）ａ＝－３　のとき
　　f(x)＝3x^2+9x+6
　　　　＝3(x+1)(x+2)
となり、(x+2) を因数にもってしまうので、最大公約数が (x+1) の条件を満たさず不適となります。

２）ａ＝１　のとき
　　f(x)＝3x^2+x-2
　　　　＝(3x-2)(x+1)
となり、(x-1) や (x+2) という因数をもっていないので、条件を満たすことになります。

　以上のことから、ａの値は、
　　∴ａ＝１
と求められます。

回答No.1

koko_u_

>「式と式の最大公約数」というものがどういうものなのかがつかめていません。
普通の自然数の場合と同じです。多項式 f, g を共に割り切る多項式 d のことを公約数と言います。
もちろん多項式 f, g 両方で割り切れる多項式 u を公倍数と言います。

最初の問題は 3x^2 + a^2 x - 2a が x + 1 で割り切れるので、a の値が求まり、あとは実際に x + 1 が「最大」公約数かを調べれば良いはず。(解いてないけど)