方程式の解についてです

質問

U*(ξ)=∫(-∞～ξ)U(τ)dτ (ξ∈R）
これを微分して
dU*(ξ)/dξ=U(ξ)
d^2 U*(ξ) / dξ^2=dU(ξ)/dξ

これらを以下の方程式☆に代入します
d^2 U(ξ) /dξ^2 + ξ/2•dU(ξ)/dξ－αU(ξ)=0 --(☆)
（α:任意定数)
そうするとdU(ξ)/dξ+ξ/2•U-(α+1/2)U*(ξ) ----(★) となりますよね。
★をξで微分すると
d^2 U(ξ) /dξ^2 + ξ/2•dU(ξ)/dξ+1/2U(ξ)-(α+1/2)U(ξ)
これは☆より＝０となります。

ここで、
U(-∞)=(dU/dξ)(-∞)=0ならば★=0
ということなのですが、これはどういうことでしょうか？
U(-∞)=(dU/dξ)(-∞)=0という条件は何故必要なのでしょうか？

どなたか解説よろしくお願い致します。

回答No.2

alice_44

不定積分したと考える場合：
U*(ξ) = ∫(-∞～ξ) U(τ)dτ より、U の不定積分は
∫U(τ)dτ = U*(ξ) + (積分定数).
左辺第一項第二項の不定積分からも積分定数が出る。
定数をまとめて式を整理すると、(△)になる。

-∞～ξ で定積分したと考える場合：
左辺第一項第二項を定積分するには、
端点での値を計算するために
(dU/dξ)(-∞) と U(-∞) が必要になる。
ここで直接(▲)に行ってもよいが、
両者を一旦 A, B とでも置いて式を整理すれば、
結局(△)と同じ式になる。

不定積分で考えても、定積分で考えても、同じこと。

回答No.1

alice_44

(☆)の両辺を ξ で積分すれば、確かに
dU(ξ)/dξ + (ξ/2)U(ξ) - (α+1/2)U*(ξ) = C --(△)
(Cは定数)となるけれど、定数 C の値は判らない。
C の値を決めるためには、U について(☆)以外の
情報が必要で、そのために
U(-∞) = (dU/dξ)(-∞) = 0 --(▲)
を仮定したのだと思う。
(▲)であることが判ったということではなく、
(▲)である場合の(☆)の解を求めようということ。
仮定(▲)を置けば、ξ→-∞ のとき(△)は
0 + (0/2)0 - (α+1/2)0 = C となって、
C = 0 が解かる。

「初期条件」という言葉は知ってる？

補足

ご回答ありがとうございます。
１行目は☆をξの不定積分を行っているのでしょうか？それならば定数がつくのは分かるのですが、
U*がでてきているようですので定積分なのかなと思いました。
それならばなぜ定数Cガ出てくるのでしょうか？