微分方程式(2)

質問

大学数学、微分方程式の問題です。

g=g(t,u)はR×RにおけるC1級関数であるとする。α>0とする。

いま定数M>0があって

・|g(t,ξ)|≦M
・g(t+1,ξ)=g(t,ξ)

と仮定する。

ただしtとξは実数である。この時u=u(t)を未知関数とする方程式

・du/dt=－αu＋g(t,u)

にはu(t+1)=u(t)(tは実数)となるような解u(t)が－∞<t<∞で存在することを示せ。

ヒント：a∈[－M/α,M/α]を任意に取って初期条件u(0)=aを与えた解u(t,a)を作り、u(1,a)を対応させる。

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13118779978?__ysp=5ZGo5pyf6KejIOW%2BruWIhuaWueeoi%2BW8jw%3D%3D

知恵袋に似た問題があるのですが、その回答を見て考えるとヒントの意味が分からず、どのように解けばよいか迷っています。

教えてください。お願いします。

回答No.1

jcpmutura

g=g(t,u)はR×RにおけるC1級関数であるとする
α>0とする
いま定数M>0があって
・|g(t,ξ)|≦M
・g(t+1,ξ)=g(t,ξ)
とする

a∈[-M/α,M/α]
-M/α≦a≦M/α
実数0≦t≦1に対して
u_0(t,a)=a
とすると
|u_0(t,a)|=|a|≦M/α
自然数nと実数0≦t≦1に対して
u{n-1}(t,a)
が定義されて
|u{n-1}(t,a)|≦M/α
が成り立ちu{n-1}がt,aに関して連続と仮定すると
u_n(t,a)=e^(-αt)[∫_{0～t}g(t,u{n-1}(t,a))e^(αt)dt+a]…(1)
と定義すると
|u_n(t,a)|
=|e^(-αt)[∫_{0～t}g(t,u{n-1}(t,a))e^(αt)dt+a]|
≦e^(-αt)[M∫_{0～t}e^(αt)dt+M/α]
=Me^(-αt)[{e^(αt)-1}/α+1/α]
=Me^(-αt)e^(αt)/α
=M/α
だから
u_nもt,aに関して連続
だから
全ての自然数nに対して
|u_n(t,a)|≦M/α

gはC1級だから
g(t,y)のyに関する偏微分g_y(t,y)も連続だから
自然数nと実数0≦t≦1に対して
0≦s≦1
y=(1-s)u{n-1}(t,a)+s*u_n(t,a)
{g(t,u_n(t,a))-g(t,u{n-1}(t,a))}=g_y(t,y){u_n(t,a)-u{n-1}(t,a)}
となるs,yがある
g_y(t,y)は連続だから
閉区間-M/α≦y≦M/αで
有界だから
あるK>0が存在して-M/α≦y≦M/αで
|g_y(t,y)|≦K
だから
|g(t,u_n(t,a))-g(t,u{n-1}(t,a))|≦K|u_n(t,a)-u{n-1}(t,a)|

L=2M/αとすると
実数0≦t≦1に対して
|u_1(t,a)-u_0(t,a)|≦|u_1(t,a)|+|u_0(t,a)|≦2M/α=L

ある自然数nに対して
|u_n(t,a)-u{n-1}(t,a)|≦L(Kt)^(n-1)/(n-1)!
が成り立つと仮定すると

|u{n+1}(t,a)-u_n(t,a)|
=|e^(-αt)∫_{0～t}{g(t,u_n(t,a))-g(t,u{n-1}(t,a))}e^(αt)dt|
≦|e^(-αt)∫_{0～t}K|u_n(t,a)-u{n-1}(t,a)|e^(αt)dt|
≦|e^(-αt)∫_{0～t}K{L(Kt)^(n-1)/(n-1)!}e^(αt)dt|
≦{L(K^n)/(n-1)!}∫_{0～t}t^(n-1)dt
={L(K^n)/(n-1)!}[t^n/n]_{0～t}
=L(Kt)^n/n!
だから
全ての自然数nに対して
|u{n+1}(t,a)-u_n(t,a)|≦L(Kt)^n/n!
が成り立つから
0≦lim_{n→∞}|u{n+1}(t,a)-u_n(t,a)|≦lim_{n→∞}L(Kt)^n/n!=0
lim_{n→∞}|u{n+1}(t,a)-u_n(t,a)|=0
N=(全自然数)とする
{u_n(t,a)}_{n∈N}は
{t;0≦t≦1}×{a;-M/α≦a≦M/α}で
一様に収束するからその極限を
lim_{n→∞}u_n(t,a)=u(t,a)
とすると
|u_n(t,a)|≦M/α
だから
|u(t,a)|≦M/α
だから
u(t,a)はt,aに関して連続
一様収束性から(1)でn→∞とすると
u(t,a)=e^(-αt)[∫_{0～t}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a]…(2)
となる
v(a)={∫_{0～1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt}/(e^α-1)
h(a)=v(a)-a
とすると
|v(a)|≦M/α
vは連続だから
hも連続
-M/α≦v(a)≦M/α
h(-M/α)=v(-M/α)+M/α≧0
h(M/α)=v(M/α)-M/α≦0
だから中間値の定理から
-M/α≦a≦M/α
h(a)=v(a)-a=0
となるaが存在するから
a=v(a)={∫_{0～1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt}/(e^α-1)
↓両辺に(e^α-1)をかけると
a(e^α-1)=∫_{0～1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt
↓両辺にaを加えると
ae^α=∫_{0～1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a
↓両辺にe^(-α)をかけると
a=e^(-α)[∫_{0～1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a]
↓左辺u(0,a)=a
↓右辺u(1,a)=e^(-α)[∫_{0～1}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a]
↓だから
u(0,a)=u(1,a)
だから
任意の整数nに対して
n≦t≦n+1となる実数に対して
u(t,a)=u(t-n,a)
と定義できて
u(t+1,a)=u(t,a)
となる
(2)から
u(t,a)=e^(-αt)[∫_{0～t}g(t,u(t,a))e^(αt)dt+a]
↓両辺をtで微分すると
du/dt=-αe^(-αt)[∫_{0～t}g(t,u(t))e^(αt)dt+a]+g(t,u)
↓u=e^(-αt)[∫_{0～t}g(t,u(t))e^(αt)dt+a]だから
du/dt=-αu+g(t,u)
だからuは微分方程式の解である