微分方程式の初期値問題

質問

友達とも考えてみたのですが、どうにもわからないので質問します。
以下の微分方程式の初期値問題の解を求めよ。
y''+y=r(x) y(0)=0,y'(0)=0
(0≦x≦π)の時　r(x)=1-(x/π)
(x＞π)の時　　 r(x)=0
0≦x≦πの時は初期条件によってちゃんと任意定数が定まるのですが、x＞πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。x＞πの時、任意定数を求めることができるかどうか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
y(0)=C2+1=0
y'=C1cos(x)-C2sin(x)+r'(x)
y'(0)=C1-(1/π)=0
∴C1=1/π, C2=-1
と任意定数が決まります。

＞　x＞πの時は初期条件が提示されていないので、任意定数を求めることが出来ませんでした。
勘違いされていませんか？
(0≦x≦π)の時　r'(x)=-1/π
(x＞π)の時　　 r'(x)=0　
r(x)やr'(x)のグラフを書いてみて下さい。
r(x)やr'(x)は x=πで関数が場合分けされていますが、普通の１つの関数やその微分に過ぎません。
一般解は「x≧0」で
y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
であり
その微分が
y'=C1cos(x)-C2sin(x)+r'(x)
です。

初期条件は
x=0でのy,y'に与えて任意定数C1,C2を決めればいいです。

x＞πの場合分けと初期条件は関係ありません。
r(x)は場合分けが入っていますが、x≧0で定義された単なる１つの関数です。初期条件とは関係ありません。r(x)が折れ線になっているかといって
一般解は「x≧0」で
y=C1sin(x)+C2cos(x)+r(x)
で一般解なのです。
xをπの前後で場合分けしてもちゃんと同じもとの
微分方程式を満足していると思います。
r(x)を一つの関数と考えて下さい。場合わけに惑わされないようにして下さい。

お礼

ご回答ありがとうございます。なるほど、単なる一つの関数としてみればよかったんですね！　よくわかりました。また質問させてもらうかもしれませんが、その時はよろしくお願いします。