偏微分方程式です

質問

関数u(x,y,z)が偏微分方程式
d^2u/dx^2+d^2u/dy^2+d^2u/dz^2=ln(r)
を満足していて、r=√(x^2+y^2+z^2) です。
このとき、
(ｒ、θ、φ)（ただし、θは極角、φは方位角です）を球座標としてuがrのみに依存するとき、
uの満足する微分方程式を求めろ、とあるのですが、
全く見当もつきません。
なるべく噛み砕いたご説明をお願いします。

回答No.2

unyo12 · ベストアンサー

ラプラシアン用いて解くとこんな感じでしょうか・・・？

問題文の左辺
　　(∂u/∂x)^2+(∂u/∂y)^2+(∂u/dz)^2
は、ラプラシアンΔを用いて表すと
　　Δu
となります。Δは極座標で表すと参考URLの式(26)の一つ上段の式の右辺（これを式１とします）のようにもなります。
式１の各項にuをかければ、Δuになります。
ここで仮定より
　　　∂u/∂θ＝0　、　∂u/∂φ＝0
ですから、Δuは第一項・第二項のみが残って
　　Δu＝(∂/∂r)^2・u＋(2/r)・(∂/∂r)・u　　・・・・・・式２
となります。そして、
式２に　Δu＝ln(r)　（∵仮定より）を代入すれば、
求める微分方程式は
　　(∂/∂r)^2・u＋(2/r)・(∂/∂r)・u＝ln(r)　・・・・・・答
となります。　

間違っている可能性もありますので鵜呑みにしないで下さいね。

参考URL：

http://chiron.mtk.nao.ac.jp/~daisuke/ja/Research/Astronomy/Math/Laplacian/

回答No.3

nubou

補足に指摘がないので一応正しておきましょう

ｖ（ｒ）をｒの関数とｕ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｖ（ｒ）とすると
（∂／∂ｘ）・ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
（∂ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）／∂ｒ）・（∂ｒ／∂ｘ）＝
ｖ’（ｒ）・（ｘ／ｒ）
さらに
（∂／∂ｘ）＾２・ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）＝
（∂／∂ｘ）・［（∂／∂ｘ）・ｕ（ｘ，ｙ，ｚ）］＝
（∂／∂ｘ）・［ｖ’（ｒ）・（ｘ／ｒ）］ ＝
ｖ”（ｒ）・ｘ＾２／ｒ＾２＋ｖ’（ｒ）・（∂／∂ｘ）・（ｘ／ｒ）

まだ間違いがあっても書き間違いだから気持ちだけ受け取ってください

回答No.1

nubou

（∂／∂ｘ）・ｕ＝（∂ｕ／∂ｒ）・（∂ｒ／∂ｘ）＝ｕ’・（ｘ／ｒ）
（∂／∂ｘ）＾２・ｕ＝（∂／∂ｘ）・［ｕ’・（ｘ／ｒ）］
＝ｕ”・ｘ＾２／ｒ＾２＋ｕ’・（∂／∂ｘ）（ｘ／ｒ）

後は猿でも分かるのえやめておきます

間違いがあります
補足に指摘してください

補足

う～ん・・・