二階微分方程式が解けない！

質問

微分方程式
d^2u/dr^2 + (1/r)du/dr - u/r^2 = 0
境界条件：　r = a_1 ; u = ω_1a_1
r = a_2 ; u = ω_2a_2
が解けません(T_T)どうか救いの手を！！お願いします．

回答No.2

mmky

参考程度に
#1の続き、
u''(t) - u= 0
u=e＾λt,　と置いて代入すると、
λ＾2-1=0, λ=±1
実数根だから、
u=C1*e＾t+C2*e＾-t
t=logr
境界条件：　
r = a1 ; u = ω1*a1
r = a2 ; u = ω2*a2

ω1*a1=C1*a1-C2/a1
ω2*a2=C1*a2-C2/a2

C1=(ω1*a1＾2-ω2*a2＾2)/(a1＾2-a2＾2)
C2=(ω1-ω2)*(a1*a2)＾2/(a1＾2-a2＾2)

というやり方でしょうかね。

回答No.1

mmky

参考程度に
オイラーの方程式になるんですかね。
d^2u/dr^2 + (1/r)du/dr - u/r^2 = 0
r≠0、両辺にr＾2をかけて、
r^2d^2u/dr^2 + rdu/dr - u= 0
r＾2u''(r)+ru'(r)-u(r)=0
r=e＾t と置くと、
t=logr, dt/dr=1/r
u'(r)=(du/dt)(dt/dr)=u'(t)*(1/r)
r*u'(r)=u'(t)
u''(r)={u''(t)-u'(t)}*(1/r＾2)
r＾2*u''(r)={u''(t)-u'(t)}
つまり
u''(t) - u= 0
の標準形に返還されますね。
これを解いて境界条件を入れるということでしょうか。　参考程度まで