3次正方行列が対角化不可能になる条件

質問

3次正方行列A

A= (2 a 1)
　　(1 2 1)
　　(0 0 1)

Aが対角化不可能であるとき、パラメーターaの満たすべき条件を求めよ。

という問題です。

aを残したまま|A-λE|=0を計算して特性方程式が重解を持つように
解いたらa=1,0でした。
aはa=1,0のいずれかと思いましたが、実際a=1,0のときにたしかに特性方程式
は重解をもつが、両方とも固有空間の次元が重複度に一致してしまいました。
すなわち、a=1でもa=0でもAは対角化可能ということになります。

この問題で非常に困っています。
ご指導いただければと思います！

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

過去の質問 http://okwave.jp/qa/q7495952.html
に、貴方自身が
＞ a を残したまま |A-λE|=0 を計算して
＞ 特性方程式が重解を持つように解いたら a=1,0 でした。
＞ a=1 と a=0 でそれぞれ代入して計算したら、
＞ a=0 はダメで a=1 はokでした。
と書いているんだけれども、
その後何が起こったの？ ←大切なことなので、要補足

|A-λE| = (1-λ){(2-λ)^2-a} だから、
固有値が重根になるのは
a=0 のときの固有値 2 と
a=1 のときの固有値 1 のみ。

a=0, λ=2 のとき
A-λE =
(0 0 1)
(1 0 1)
(0 0 -1)
の rank が 2 だから、
固有空間の次元は 3-2 で固有値の重複度 2 より小さい。
よって対角化不能。

a=1, λ=1 のとき
A-λE =
(1 1 1)
(1 1 1)
(0 0 0)
の rank が 1 だから、
固有空間の次元は 3-1 で固有値の重複度 2 と一致する。
よって対角化可能。

何を困っているのさ？

お礼

申し訳ありません...
一日置いてもういっぺん計算したらa=0で計算ミスしていたことに気づきました...
計算過程はまったくalice_44さんの書いたとおりです。
ありがとうございました！

回答No.2

Tacosan

a = 1, 0 のそれぞれのときに固有値はどうなりました? そして, 「固有空間の次元」をどのように計算し, その結果はどうなりましたか?

また, 前にも書いたように
行列 A が対角化可能 ⇔ A の最小多項式が単根しか持たない
です. 従って, 固有値がわかっているなら「対角化可能と仮定したときの最小多項式」が求まりますから, 実際に計算してみることもできます.

お礼

実はa=0で計算ミスしていました。
a=0で合っています。
ありがとうございます！すみませんでした！

回答No.1

Willyt

対角化不能の条件は重根の他にＡのランクが下がるということもありますから｜Ａ｜＝０が成立する場合もあるということでしょう。そうすると

４－ａ＝０　つまり　ａ＝４となります。

お礼

実はa=0で計算ミスしていました。
a=0で合っています。
ありがとうございました！