テンソル解析について

質問

相対論の初学者なので、おかしなことを言ってたら申し訳ないんですが・・・

質問内容は添付画像に書いてあります。

よろしくお願いします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

商の定理により，ご紹介の量がテンソルであるかどうかは
∂g_{μν}/∂x^η
がテンソルであるかどうかに帰着します。
しかるに，一般座標において座標による微分はテンソルを構成しません。そのために用意されたのが共変微分であるわけですね？
したがって，ご紹介の量はテンソルではないと思います。

お礼

なるほど！商の定理を使えば、簡単にわかりますね！
∂g_{μν}/∂x^η
は２階の共変テンソルを座標によって微分したものなので、テンソルにはならないですね。

実はこの量は、クリストッフェル記号の第３項なのですが、
僕は、微分幾何学の教科書に書いてあった、g_{μν}の定義式を微分してみて計算してみた結果
テンソルではないだろう。という結論にはなったのですが、イマイチ確信が持てませんでした。

しかし、回答者様の説明で、凄く納得しました。ありがとうございます。

回答No.1

kendosanko

どの添え字の量で縮約をとっているか考えてみればいいのでは。

相対論の規約だと、
二重に重なっている量は、縮約をとってますから。

お礼

早速の回答、ありがとうございます。

縮約は、テンソルで上付き添字と下付き添え字について、0から3まで和を取ることですが、
この場合のηは、テンソル同士でなく、テンソルと微分記号ですよね。
縮約って取れるものなのでしょうか？