線形代数 線形写像に関する質問です

質問

U,Vをベクトル空間，f:U→V線形写像,u1,u2．‥,un∈Uとする．次を示せ．
(1)f(u1),f(u2),…,f(un)∈Vが１次独立の時，u1,u2．‥,un∈Uも１次独立である．　
(２)fは単射とする(すなわち，「x,y∈U,x≠ｙ⇒f(x)≠f(y)」が成り立つ)．
この時，u1,u2．‥,un∈Uが１次独立ならばf(u1),f(u2),…,f(un)∈Vも
１次独立である．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

注）u,vは太文字（ベクトル）です。u,vの隣の数字は添え字です。

以上の問題です。方針が立たないわけではありませんが、それ以上議論が進められません。どなたかわかる方がいらっしゃったら、回答をお願いします。

回答No.3

麻野 なぎ（@AsanoNagi） · ベストアンサー

> fが線形写像より、c1f(u1)+……+cnf(un)=0 ⇔ f(c1u1+……+cnun)=0

この式を理解して書いたのなら、1) の証明はこれだけで終わっていますね。
（正確には、← 側の矢印だけで）
※ f(0) = 0 という性質も使う必要があるけど、これは使って良いですよね。
※ ただし、直接示しているのは、No.2 のヒントにある、「従属⇒従属」です。

> (2)は当然のような気がするのですが、fが単射という条件をどのように使えばよいのでしょうか。
単射という条件は必要です。
たとえば、f(u) = 0 という単射でない線型写像では、u が一次独立でも、f(u) は一次従属です。
逆写像の存在が言えたら、「1) と同じ」と言える気がする。

お礼

ありがとうございました。

回答No.7

kabaokaba

NO.2への補足をみたけど・・・・
何もわかってないよ・・・・

(1)「u1,u2．‥,un∈Uも１次独立である」
をしめすんだったら
c1u1+・・・cnun=0ならばc1=・・・=cn=0
を示すのが一次独立の定義
fは線型なんだから
f(c1u1+・・・cnun)を計算したらどうなる？
f(u1),f(u2),…,f(un)∈Vが１次独立なんだからすぐわかるでしょ？

(2)
c1f(c1)+・・・+cnf(un)=0を仮定して
c1=・・・=cn=0
を示せばいいんだけど
fが単射なんだから
f(v)=0ならばv=0
ということが成り立って
u1,u2．‥,un∈Uが1次独立なんだから・・・わかるでしょ？

回答No.6

Tacosan

すみません, #5 も 1か所間違えました.

最後の方,
c1u1+……+cnun=0 が自明な解を持つかどうかは u1～un を並べてできる行列のランクで分かるものであって
とあるのは
c1u1+……+cnun=0 が自明でない解を持つかどうかは u1～un を並べてできる行列のランクで分かるものであって
の間違いです.

回答No.5

Tacosan

あ, しまった, #2 への補足への突っ込みを忘れてた.

#2 への補足の中で「f を表す行列を T として |T|=0 を示す」という方針を挙げていますが, これはおかしいです. そもそも |T| が何かという問題がありますし, 行列式を表すとしても「T が正方行列ではない」可能性が抜け落ちています. さらに言えば, T が正方行列であっても「行列式が 0 かどうか」は (1) と関係ありません.

と書いてから見直してみると「c1u1+……+cnun=0が自明な解をもつのは、|T|=0.」って書いてあるなぁ.... この文章自体おかしいです. 「c1u1+……+cnun=0 が自明な解を持つ」のは当たり前です. だって, この場合の「自明な解」って c1 = c2 = ... = cn = 0 でしょ? もちろん「自明でない解」と直してもおかしいです. c1u1+……+cnun=0 が自明な解を持つかどうかは u1～un を並べてできる行列のランクで分かるものであって, u1～un と直接関係のない T の行列式を見ても無意味です.

回答No.4

Tacosan

ん～, それはたぶん困難な方に突っ込んでる気がする (と #3 も指摘してるなぁ).

どちらも #2 の「基本方針」に従うのが簡単だと思う.

お礼

ありがとうございました。対偶をとってみることを考えていませんでした。

回答No.2

alice_44

方針が立ったのなら、まず、それを補足に書いて
どこで詰まったのかを示めそう。
なぜ詰まったのかは、回答者が考えるから、
詰まった様子を、そのまま書いて見せるといい。
丸回答を貰って、それで勉強になるレベルの人は、
教科書に丸々答えが書いてあるような問題を
掲示板で質問したりはしないものだ。

基本方針としては、独立⇒独立 を 従属⇒従属 の
対偶と見るところから…

お礼

ありがとうございました。対偶をとってみることを考えていませんでした。

補足

fが線形写像より、c1f(u1)+……+cnf(un)=0 ⇔ f(c1u1+……+cnun)=0
で、(1)では、 f(c1u1+……+cnun)=0 でc1=……=cn=0が成り立つ.
ここで線形写像f(x)=Txを考える（Tは行列）.
すると、T(c1u1+……+cnun)=0 でc1=……=cn=0 が成り立つ.
c1u1+……+cnun=0が自明な解をもつのは、|T|=0.これを示せばよい.
(2)は当然のような気がするのですが、fが単射という条件をどのように使えばよいのでしょうか。

回答No.1

kabaokaba

>方針が立たないわけではありませんが、それ以上議論が進められません

ほんとう？
方針が立てばそのままつっきれば解ける問題というか
定義をそのままあてはめればいいんだけど．

とりあえずその「方針」をきちんと書きましょう．
大学生にもなって丸投げは恥ずかしいでしょ？

お礼

すみませでした。ご指摘ありがとうございます。