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問題の解答についてです。
3個のさいころをふったとき、出た目の合計がnとなる確率を求めよ。 目の合計がnとなるくみあわせをW(n)とする。 という問題の解答解説に、「目の数をrとすると、1≦r≦6なので、まずrをr-7とよみかえて、W(n)=W(21-n)となるので、n≦10の場合を考えればいい。」とあったのですが、「まず」以下になる理由がわかりません。 できるだけ詳しくお願いします。
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ひどい解答解説だなー・・・なんのことやらさっぱりわからんわー r-7じゃなくって7-rじゃないのかな それにW(n)って組み合わせじゃないよね 確率をだすんだから順列の方がいい 三つのサイコロの目をそれぞれa,b,cとすると n=a+b+c です ところで，サイコロって対面の数の和って7でしょう？ だから 目a がでるってことは，反対側の目は7-aです つまり，目aがでるということは，反対の7-aの目がでることと 完全に対応がつくのです． ＃気分としてはガラスの上でサイコロをふって ＃上からみる人と下からみる人がいるって感じ したがって，ある順列(a,b,c)がでることと その逆である(7-a,7-b,7-c)でることは完全に対称性があります （数学的には「一対一に対応する」といいます）． したがって n=a+b+cとなる組合せの数と 21-n = (7-a)+(7-b)+(7-c)となる組合せの数は一致します ＃ガラスのたとえでいうなら ＃上か下かで値が違うけど，その合計は ＃上からみてnなら下からは21-n ということ よって，W(n)=W(21-n)です となると，nと21-nの組を考えると (1,20)(2,19)・・・・(9,12)(10,11)(12,9)・・・(19,2) って感じでnと21-nには対称性があって (1,20)(2,19)・・・・(9,12)(10,11)のケースだけ考えればいいのです さらにnは3以上だから n=3,4,5,6,7,8,9,10だけ考えればいいのです n=3の場合は自明(1,1,1)の1通り n>3の場合，最低でも目の和は3あることに注目すれば以下のように計算できます n=4のときは，1だけ増えるのだからこの1を3つのうちどれに与えるかで3通り ＃つまり(1,1,1)という「最小和」のパターンのどこに1を足すかで ＃(1,1,2)(1,2,1)(2,1,1)の3通り n=5のときは，増分2を割り振るんだけど 2をまとめて割り振って3通り（(1,1,3)(1,3,1)(3,1,1)ってこと） 1と1で割り振って3通り（(1,2,2)(2,1,2)(2,2,1)ってこと） 合計6通り n=6のときは，増分3で 3 =>3通り 2,1=>6通り 計9通り n=7のときは 4 =>3通り 3,1=>6通り 2,2=>3通りで計12通り n=8のときは 5=>3通り 4,1=>6通り 3,1,1=>3通り 3,2=>6通りで計15通り n>=9では増分が6以上になるが 6以上をまとめて割り振ることはできない（すでに1を考慮している） n=9のとき 6=>割り振れない 5,1=>6通り 4,2=>6通り 4,1,1=>3通り 3,3=>3通り 3,2,1=>6通りで計24通り n=10のとき 6,1=>割り振れない 5,2=>6通り 5,1,1=>3通り 4,3=>6通り 4,2,1=>6通り 3,2,2=>3通りで計27通り というわけ． W(3)=1 W(4)=3 W(5)=6 W(7)=12 W(8)=15 W(9)=24 W(10)=27 W(18)=1 W(17)=3 W(16)=6 W(14)=12 W(13)=15 W(21)=24 W(11)=27 確率はこれを216で割ればいい 計算間違ってたらごめん．たぶんあってると思うが．
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- kabaokaba
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もうしわけない・・・間違った(^^; n=6のとき 3=>3通り 2,1=>6通り 1,1,1=>1通りで計10通り n=7のときは 4 =>3通り 3,1=>6通り 2,2=>3通り 1,1,2=>3通りで計15通り n=8のときは 5=>3通り 4,1=>6通り 3,1,1=>3通り 3,2=>6通り 2,2,1=>3通りで計21通り n=9のとき 6=>割り振れない 5,1=>6通り 4,2=>6通り 4,1,1=>3通り 3,3=>3通り 3,2,1=>6通り 2,2,2=>1通りで計25通り ぜんぜんあってないじゃないか！＞自分・・もうしわけない ついでに もっと超越的なときかた 1+x+x^2+・・・+x^5=f(x) とおくと f(x)^3のx^{k-3}の係数は 合計がkとなるさいころの目の出方の数になります． ＃分配法則をよーく考えると分かる．二項定理を組合せで証明する仕組みと同じ だからこれを実際に展開すればいい x^15+3*x^14+6*x^13+10*x^12+15*x^11+21*x^10+25*x^9+27*x^8+27*x^7 +25*x^6+21*x^5+15*x^4+10*x^3+6*x^2+3*x+1 よって W(3)=1 W(4)=3 W(5)=6 W(6)=10 W(7)=15 W(8)=21 W(9)=25 W(10)=27 W(11)=27 W(12)=25 W(13)=21 W(14)=15 W(15)=10 W(16)=6 W(17)=3 W(18)=1
- ferien
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ANo.2です。 補足について ＞おっしゃりたいことはわかるんですが、こうする理由がわかりません。 数える手間が半分になって、数えやすいと言うことだと思いますが。 納得いかなければ、全部の場合を数えればいいだけです。 ＞rを7-rに置き換えることと関係あるんでしょうか？ １≦ｒ≦６から１≦７－ｒ≦６、このときは１～６までの場合を６～１の順に置き換えて考えることになります。 ｒ＝１の場合を７－ｒ＝６に置き換えて、２を５に置き換えて、３を４に置き換えて、……と考えても結果は同じになります。
お礼
さいころのrと7-rの関係をすっかりわすれてました！ ありがとうございます！
- 電気仕掛けの 二十二世紀少年（@22ndcenturyboy）
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補足への回答です。 サイコロの表と裏の目の合計は7になるように作られています。出た目がrなら床に接した面の目は7-rです。サイコロ3個の目の合計がnなら床面の合計は21-nです。
お礼
丁寧にありがとうございます！
- ferien
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ｎが３～１０のとき、２１－ｎは１８～１１と対応して、 ３と１８のとき、４と１７のとき、……、１０と１１のときの 組み合わせの数が同じになる（W(n)=W(21-n)）ということです。 ｎ＝３のとき、 １，１，１ １通り、 ２１－ｎ＝１８のとき、６，６，６ １通り ｎ＝４のとき、 １，１，２ ３個中２が１個出る場合 3Ｃ1＝３通り ２１－ｎ＝１７のとき、６，６，５ ３個中５が１個出る場合 3Ｃ1＝３通り ……… ということだと思います。だから、ｎが３～１０のときだけを考えればいいと言うことです。 どうでしょうか？
補足
おっしゃりたいことはわかるんですが、こうする理由がわかりません。 rを7-rに置き換えることと関係あるんでしょうか？
- alice_44
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天井に向いている面の合計が n になる事象と 床に接している面の合計が 21-n になる事象が 同一だから。
お礼
ここまで丁寧に解説ありがとうございます！ 略解とはいえいろいろすっとばされた解答解説だったんで、kabaokabaさんの解答とNo3さんの解説でよくわかりました(笑)