導関数利用の不等式の証明

質問

お世話になっております。また、夜分にすいません。

数学3からの質問です。
例えば、f(x)＞g(x)をx＞0の範囲で証明するのに、
h(x)=f(x)-g(x)が、x＞0で常にh(x)＞0 であるのを示すのが基本的な方針かと思いますが、その手段として
lim[x→∞]h'(x)=∞
が成り立つことを示すのは、h(x)がx＞0で単調増加になることの根拠として十分でしょうか？ あるいは、これに加えて、x＞0 の範囲にh'(x)=0となるxが存在しないことも必要になりますか？
ざっくりし過ぎなので、例題を挙げますと

log(1+x)＞x+x・log{2/(x+2)} 但しx＞0

の証明などです。
アドバイス宜しくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>lim[x→∞]h'(x)=∞
>が成り立つことを示すのは、
>h(x)がx＞0で単調増加になることの根拠として十分でしょうか？

十分ではありません。
必ずしも「h(x)がx＞0で単調増加になること」でなければならないこともありません。「x>0でh(x)>0であること」は「h(x)が単調増加でなくても満たせるh(x)が存在します。

>f(x)＞g(x)をx＞0の範囲で証明するのに、
h(x)=f(x)-g(x)が、x＞0で常にh(x)＞0 であるのを示すのが基本的な方針かと思います。

もし,x＞0でh(x)が単調増加関数である場合は、
（I）x＞0で単調増加関数である。
（II）h(0)≧0,h'(0)＞0である。
を証明すればよい。
例)log(1+x)＞x+x・log{2/(x+2)} 但しx＞0 が該当
　h(x)=f(x)-g(x)=log(1+x)-x-x・log{2/(x+2)}

x＞0でh(x)が単調増加関数でないある場合は、
x＞0でh(x)が極小値が存在するような場合。
このような場合は
（I）x＞0でh(x)の符号が－＋－と変化する極小値をとる全ての　　
　xi(i=1,2,…)で h(xi)＞0である。
（II）lim(x→∞)h(x)＞0
（III）h(0)≧0,h(+0)＞0である。
を証明すれば良い。

(I)は
x＞0でh'(x)、h"(x)が存在する場合は
極小値をとるxi(i=1,2,…)点はh'(x)=0,h"(x)＞0から求められます。
例1）h(x)=x+2-3sin(x)
例2) h(x)=10/(x^2+1)-sin(x)+2

x＞0でh'(x)、h"(x)が求まらない場合はh"(x)の符号変化で極小値を求めることが必要です。
例）h(x)=2(|x-1|)-(|x-3|)-3log(x^2+1)+5

x＞0でh(x)の極小値が存在せず単調増加関数でもない場合
つまり極大値だけ存在する場合
（I）h(0)≧0,h'(+0)>0である。
（II）lim(x→∞) h(x)＞0である。
を証明すればよい。
例）h(x)=2x/(1+x^2)+1

以上の場合の組合せの場合は、増減表を使ってh(x)のグラフの概形を描いて個別に対応すべき場合も出てくるかと思う。そういたt意地悪問題はあまり出題されない気がします。
h(x)の式やグラフの概形から、どのタイプかを見極めて、証明することですね。

お礼

お礼が遅れてしまい申し訳ありませんでした。

相変わらず素晴らしいと言うか、凄まじいですね。

途中に
x＞0でh'(x)h"(x)が求まらない場合、h"(x)の符号変化で極小値を…… というものがありましたが、これはx＞0で、h(x)が微分可能でないということだと思いますが、微分可能でなくh"(x)が求まらないのに、h"(x)の符号変化を調べる方法もあるのでしょうか。

また、h'(x)=0 を満たすx＞0内の値xi(i=1,2,…)も式中にsinやらlogやらが入り交じった複雑なものではh'(x)=0と置いてこれを満たすすべてのxの値を求めることすら困難な場合(単に私の能力不足かも知れませんが)もあるようです。問題集では、明らかにh'(x)=0であるような値(x＞0が前提であるケースでは、x=0の場合が多いように感じます)を代入して確かめて、他にx＞0 にあるかもしれないxiを調べもせずに証明しているようですが、これが恐らく回答者様のおっしゃる3番目の場合でしょう。 この、「他にh'(x)=0を満たすxiがあるかどうか調べんでも、x＞0ではh'(x)＞0は明らかならば、h(0)≧0でるとき、h(x)＞0」で十分なはずでしょうし。
また、増減表を使って証明させるような問題もいくらか見ました。xの範囲を限定しないような場合にあるようです。…。
ちょっと考え過ぎになってきましたが、幾漠か見えてきたので大変助かりました。
他にも色々伺いたいことがあったのですが、先走って締切ってしまったので、またこの手の問題で混乱してしまったら質問させて下さい。

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

kacchann

「f(x)が単調増加」というのは、
たしか「f(x)がつねに増加」のことだから、
つまりグラフ的にいえば、「つねに上がっていく」感じだから、
つまり「f(x)導関数が『つねに』0以上」だよ。
x->∞のときだけ見てもダメだよ。
---

ちなみにf(x)>0を示したい場合、
「f(x)が単調増加であることをいおう」という方針は
よくないと思う。だって単調増加でなくてもf(x)>0である場合もある。
例:1/x

f(x)>0を示したいなら、
かんたんにいえば、
グラフの概形かいてみよ。
かけるなら、f(x)>0かどうかもわかるでしょ。

そしてグラフの概形を書くには、
「f(x)の増減のようす」を知る必要がある。
つまり、f'(x)の正負を知る必要がある。
(※場合によってはf'(x)の正負をしるには
「f'(x)の増減のようす」を調べる必要があるかも)

お礼

お礼が遅れてすいません。

やっぱりグラフの振る舞いをきちんと把握出来ないとダメですか。
計算が厄介なのから逃げてただけかも知れませんね。
問題によっては、第一次導関数からだけでも、証明できるケースがあるようですが、基本過ぎて問題としては稀なのでしょうね……。

確かに教科書では、第二次導関数から徐々に与えられた区間内でf(x)＞0を示すようなことを匂わせる記述もあったので単純に読み足りないのだと思いますから、御指摘を頼りにもっと練習しようと思います。

御回答ありがとうございました。