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ε-δを用いた証明が分かりません
二問あります。 問１） f : [0,1] → R は単調増加とする。x_0 ∈ (0,1) とし、lim[x→x_0]f(x)は存在するとする。このとき、lim[x→x_0]f(x) = f(x_0)を示せ。 問２） f : [0,1] → R は単調増加とする。x_0 ∈ (0,1) とするとき、lim[x→x_0 - 0]f(x)、lim[x→x_0 + 0]f(x)が存在することを示せ。 大学で学んだばかりなのですが、定義を書き並べてみても解けません… 関数として証明するのか、点列を用いて証明するのか、の分別も明確には出来ない状態です。 ヒント・解説お願いいたします。
- sin_cermons
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R=(全実数)とする 1) lim_{x→x0}f(x)が存在するからそれをbとすると lim_{x→x0}f(x)=b だからその定義から 任意の正実数ε>0に対して ある正実数δ>0が存在して |x-x_0|<δ,0≦x≦1となる任意のxに対して |f(x)-b|<ε となる f(x_0)≠bを仮定すると |f(x_0)-b|>0 εは任意の正実数だから ε=|f(x_0)-b|とすると このεに対しても ある正実数δ>0が存在して |x-x_0|<δ,0≦x≦1となる任意のxに対して |f(x)-b|<ε となり x=x_0とすれば |x-x_0|=0<δ,0<x_0<1だから |f(x_0)-b|<ε=|f(x_0)-b| となって矛盾する ∴ lim_{x→x0}f(x)=b=f(x_0) 2) f:[0,1]→R,単調増加 0<x_0<1 A={f(x)|x<x_0,0≦x≦1}⊂R B={f(x)|x>x_0,0≦x≦1}⊂R とする f(x)∈A→x<x_0,f(x)<f(x_0) f(x)∈B→x>x_0,f(x)>f(x_0) だから AはRの上に有界な部分集合 BはRの下に有界な部分集合 だから(下記(*)から) Aの上限supA=a∈R Bの下限infB=b∈R が存在する supA=aだから 任意の正実数ε>0に対して a-ε<f(x_1)<a,f(x_1)∈A となるx_1がある x_1<x_0 だから δ=x_0-x_1 x_0-δ=x_1<x<x_0 となる任意のxに対して f(x_1)<f(x)∈A a-ε<f(x_1)<f(x)<a ∴lim_{x→x_0-0}f(x)=aが存在する infB=bだから 任意の正実数ε>0に対して b<f(x_2)<b+ε,f(x_2)∈B となるx_2がある x_2>x_0 だから δ=x_2-x_0 とすると x_0<x<x_0+δ=x_2 となる任意のxに対して B∋f(x)<f(x_2) b<f(x)<f(x_2)<b+ε ∴lim_{x→x_0+0}f(x)=bが存在する (*)全実数の集合Rは 「有理数のコーシー列の同値類」又は 「有理数のdedekind切断の集合」 等によって定義され、定義から 実数のコーシー列は収束する(完備)。 A⊂R,Aは上に有界ならばAの上限が存在する B⊂R,Bは下に有界ならばBの下限が存在する 等の性質が導かれる。
お礼
なるほど…難しいですね。 ありがとうございました。