ある高校数学の問題の一部なのですが

質問

ある高校数学の問題の一部なのですが

f'(x)=-sinx+x

x>0のときf'(x)>0を示したいのですが、
f'(x)の微分f''(x)を使ってこれを示すのはダメらしいんです。

そこで図形的に示すように教えられたのですが、
微分できない理由がわかりません。
微分したらcosx+1は常に正だから、f'(x)は単調増加で0より大きいことが示せる気がします。

授業でsinxの定義がどーのこーの言っていたような気がするのですがそれの意味も分かりません。
質問しようにもその先生とはもう会うことがありません…
気になって仕方ありません。
どなたか教えてください！！
お願いします

一応授業のノートの一部を添付しました。
画質がもうちょっといいのはこちらです
http://www.border.jp/emoltana/okwave.png

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回答No.2

noname#121794 · ベストアンサー

十分いいと思う。f'(x)=-sinx+x>0 (x>0)を示すのは
普通微分法で示すほうが圧倒的に簡単にできる。最も一般的。
君が習ったsinΘの定義は単位円周上の点を(x,y)としΘをx軸の正方向と原点と(x,y)を
結ぶ線分のなす角としyをsinΘと定めるであったはず。

回答No.3

nag0720

Oを中心とする扇形OABを描いて、点Aから辺OBに下ろした垂線の足をCとするとき、
AC＜弧ABの長さ
を示せ。

という問題と同じですよね。

単に幾何学の問題として解いてほしかっただけじゃないですか。

その先生は、「１つの問題を解くのにいろんなアプローチのしかたがある」というのを教えたかったような気がします。

回答No.1

BOMBARDMENT

微分を使ってはいけない理由として考えられるのは、

・まだ微分法を習っていない高１対象の問題だから
・グラフから解かせることを目的とした問題だから

などが挙げられます。

確かにf(x)=x-sinxの右辺をxで微分すれば1-cosxであり、これは区間(0,π/2)で恒に正の値を取るので、f(x)は当該区間で単調増加関数となります。また、sinxの値域が[-1,1]であることから、x>1でf(X)が恒に正であることも明らかです。

これは結局sinx<x(0<x<1)を証明させる問題に帰結しますが、正弦曲線が第一象限などでどのような形を取るのかの理解を求めるための「教育的設問」である可能性もあるかもしれません。

補足

うーん
これは高３の入試実践問題なんです。
正弦曲線の形を考察させる問題ではないと思うのですが…