ベクトルの問題

質問

ベクトルの問題で進研模試の過去問なんですけど
(1)しか自力で解くことが出来ないので
分かる方は回答解説お願いします!!

問題
OA=2,OB=3,∠AOB=120°の三角形OABにおいて
ベクトルOA＝ベクトルa、ベクトルOB=ベクトルbとする。
また辺ABを3:1に内分する点をM、点Mと直線OBに関して
対称な点をNとする。
(1)ベクトルOMをベクトルa,bで表せ。
　　また、内積ベクトルa・ｂの値を求めよ。

(2)ベクトルONをベクトルa,bで表せ。

(3)直線OMとANの交点をPとするとき、ベクトルOPを
　　ベクトルa,bで表せ。

(1)はOM＝1/4a+3/4b
　　a・b=-3となりました。
この続きを教えてください!!

回答No.3

Meowth

MはABを3:1に内分する点だから
1/4a+3b/4
a・b=-3
Aから直線OBに垂線をひいて交点をD
MNと直線OBの交点をE
とすれば
OD=-1/3b
OE=2/3b
DA=a+b/3
AD=-a-b/3
EM=1/4DA=a/4+b/12
ON=OE+EN=OE-EM
=2/3b-(a/4+b/12)
=-a/4+7/12b

AP:PN=s:1-s
とすれば
OP=(1-s)a+s(-a/4+7/12b)
={1-5s/4}a+7s/12b
OP=tOM=t/4a+3t/4b
とすれば
3t/4=1-(5s)/4
t/4=7s/12

s=9/13,t=7/13

OP=7/52a+21/52b

回答No.2

ibunseki

>> 4(↑m)={(↑a)+3(↑b)}
>> (↑a)・(↑b)=6cos120度=(-3)

　　　　　(↑m)+(↑n)=k(↑b)
　{(↑m)-(↑n)}・(↑b)=0

　　　　　4(↑m)+4(↑n)=4k(↑b)
{(↑a)+3(↑b)}+4(↑n)=4k(↑b)

4(↑n)=4k(↑b)-(↑a)-3(↑b)={-(↑a)-(3-4k)(↑b)}
　　　　　　　　　　　　　　　　(↑n)={-(↑a)-(3-4k)(↑b)}/4

-4(↑n)=-4k(↑b)+(↑a)+3(↑b)={(↑a)+(3-4k)(↑b)}

　　4(↑m)-4(↑n)
　={(↑a)+3(↑b)}+{(↑a)+(3-4k)(↑b)}
　=[2(↑a)+(6-4k)(↑b)]

　　[4(↑m)-4(↑n)]・(↑b)=0
　　[2(↑a)+(6-4k)(↑b)]・(↑b)=0
　　[(↑a)+(3-2k)(↑b)]・(↑b)=0
　　　　　　　　　　　(-3)+9(3-2k)=0
　　　　　　　　　　　　-1+3(3-2k)=0
　　　　　　　　　　　　　　-1+9-6k=0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　8=6k
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　k=(4/3)

(↑n)
={-(↑a)-(3-4k)(↑b)}/4
={-(↑a)+(7/3))(↑b)}/4
=(-1/4)(↑a)+(7/12)(↑b)　。

(↑p)=s(4↑m)=s{(↑a)+3(↑b)}=s(↑a)+3s(↑b)
(↑p)=(1-12t)(↑a)+12t(↑n)
　　　=(1-12t)(↑a)+12t[(-1/4)(↑a)+(7/12)(↑b)]
　　　=(1-12t)(↑a)-3t(↑a)+7t(↑b)
　　　=(1-15t)(↑a)+7t(↑b)

　　　s=(1-15t) ---> 3s=3-45t
　　3s=7t

　　3-45t=7t
　　　　　3=52t
　　　　　　　　t=(3/52)
　　　　　　　　s=(7/3)t=(7/3)(3/52)=(7/52)

(↑p)=s(↑a)+3s(↑b)=(7/52)(↑a)+(21/52)(↑b) 。

回答No.1

orcus0930

xy平面に置き換えて考えてみました。
NをMのOBについて対称な点としているので、
Oを原点、Bを（3,0）,Aを(-1,√3/2)と設定しました。

ここではベクトルOAやベクトルOBをOA,OBと表わすこととしましょう。

(2)
NはMの座標のy座標をマイナスにするだけでいいので、
ON=(2,-√3/8)と求められます。
ここでONをOA,OBの線形結合に表せばいいので、
y座標を与えるのがOAのみであることに注目して、
ON=-1/4*a+7/12*b

(3)
(2)ができれば、後は簡単だと思います。
OPを
(1)　OP = αOM
(2)　OP = OA + βAN
として、OA,OBの計数が一致することから、連立方程式を解いて
α=7/13 , β=9/13
と求められました。

よって、OP = 7/52*a+21/52*b

計算ミスしてるかもしれませんし、
他の方法もあると思います。
1つの方法として参考にして見てください。