この逆関数の求め方は間違っていますか？
「y=sinhx={e^x-e^(-x)}/2の逆関数を求めよ」
という問題が分かりません．
与式を変形して2y=e^x-e^(-x)
e^2x-2ye^x-1=0
e^x>0を考慮して，解の公式よりe^x=y+√(1+y^2)
両辺の対数をとって（表現が間違っているかもしれません）
x=log{y+√(1+y^2)}
yを変数xについての関数とするために入れ替えて
y=log|x+√(1+x^2)| （与式の値域より右辺の真数>0となるよう，絶対値記号を用いています．）
とすれば解答と一致します．
ですが，次の方法で解こうとすると答えが変わってしまいます．
y=f(x)=sinhx={e^x-e^(-x)}/2
f'(x)={e^x+e^(-x)}/2>0より，f(x)は増加関数
逆関数をy=f^{-1}(x)とおきます．
逆関数の導関数[f^{-1}(x)]'=2/{e^x+e^(-x)}=2e^x/(e^2x+1)=2(e^x)'/(e^2x+1)
この導関数を積分してf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)+C
関数y=f(x)は(0,0)を通るから，逆関数も(0,0)を通る．このことからC=-π/2を得る．
よってf^{-1}(x)=2tan^{-1}(e^x)-π/2
ですが，これは先ほどの解答とは異なる気がします．
後半の解法はどこが間違えているのですか？
