逆関数の微分可能の証明について

質問

逆関数の微分可能性についての質問なのですが
１変数において
y=f(x)が微分可能（何回でも）だとして
逆関数x=g(y)が微分可能（何回でも）になる

という証明は逆関数が微分可能ということを証明することで
f(x)が何度でも微分可能なので逆関数も何回でも微分可能と証明することができたと言えるのでしょうか？

何回でも微分可能の何回という点を証明する方法がよくわからないのですが教えていただけないのでしょうか．

回答No.1

Mr_Holland

f(x)がｎ回微分可能であれば、その逆関数g(x)もｎ回微分可能ですが、その式は、とても複雑になります。（証明は分かりません。）
http://www.ne.jp/asahi/search-center/internationalrelation/mathWeb/Differentiation/Differential1VarFnctn/HigherOrderDerivatives.htm#ThrmNthDerivedFnctnOfInverse

　求め方としては、Bellの多項式を用います。
　その求め方をここで説明することは難しいので、専門書に当られることをお勧めします。
　ちなみに、キーワードは、「逆関数の高階導関数、Bellの多項式」です。