１）逆関数 ２）ロピタルの定理

質問

1)逆関数に関して
　ある関数F(x)が逆関数を持つことを証明する場合、何を証明すれば「逆関数をもつ」ということの証明になるのですか？

２）ロピタルの定理に関して
　どこまで拡張ができるのでしょうか？というよりも、二回、三回、四回、と微分していっても、定理として使えるのでしょうか？（テキストでは一回の微分についてしか書いておらず、問題を解く上で少し心配になったもので…。）

つまらない質問で申し訳ありません。
一つずつで結構ですので、どなたかご教授願います。

回答No.2

killer_7 · ベストアンサー

1)逆関数について
世の中には多価関数などという関数もありますが，ここでは関数というと，xにたいしf(x)の値がただひとつきまるものとしましょう（こういう関数を一価関数といいます．）．

すると，ある関数f(x)が逆関数をもつためには，やや堅い言い方をすれば，
x_1≠x_2 ならば f(x_1)≠f(x_2)・・・(*)　（x_1の_1は下につく添え字だと思ってください）
をみたす必要があります．要するに違うところから出発したら行き先も違っていなければならないということです．なぜならば，たとえばf(1)=f(2)=3だったとしましょう．するとf(x)の逆関数f^(-1)について，f^(-1)(3)の値を1とすればよいのか2とすればよいのか困ってしまいますね．

こういう条件をみたせば，xとf(x)の値がちょうど一対一に対応しているように見えます．逆にこのように一対一に対応していさえすれば，f(x)は逆関数をもちます．つまり(*)が示すべき必要十分条件です．たとえばf(x)=x^3などがこれにあたります．一方，f(x)=x^2は定義域をすべての実数xとすれば逆関数をもちません．f(1)=f(-1)=1など，違う出発点なのに同じ行き先になることがあるからです．ただし，定義域をx≧0などとすれば，一対一対応し，逆関数をもちます．この場合の逆関数は√xですね．

ただし，注意すべきことは，どんな場合でも，f(x)が逆関数をもつことと，その逆関数が私たちの知っているような基本的な関数（x^n,sin x,e^xなど・・・）であらわされることとは別だということです．

2)ロピタルの定理
f(x)/g(x)にロピタルの定理を適用して，f'(x)/g'(x)の形になったとしましょう．これがまた不定形であった場合には，f'(x)やg'(x)をまた新しい関数だと思ってロピタルの定理を使って，f''(x)/g''(x)とできます．ただし，この場合にはf'(x),g'(x)がロピタルの定理の仮定をみたしていることが必要です．

ロピタルの定理を複数回使っても構いませんが，すべての場合について仮定をみたすことを確認せねばなりません．たとえば5回微分した形を使いたいのならば，分母，分子ともに，4回以下のすべての導関数がロピタルの定理の仮定をみたす必要があります．

お礼

分かりやすい解説有難うございます。
逆関数については、かなり丁寧に解説してくださったおかげで、すっきりしました。
ロピタルの定理に関しても、すっきりとしました。
有難うございます。

回答No.1

kotakotakota

y=F(x)の逆関数はｘ=F(y)を満たすはずと仮定して自分自身に自分自身を代入してみるとか???

お礼

そうすると、証明にはならないんじゃないでしょうか？