- ベストアンサー
√（-1）・√（-1）≠1 を証明してください
複素数の範囲で、i を虚数単位とすると i^2＝-1 であるので、書き換えると （√-1）・（√-1）＝-1 という等式になると思います。しかしここで、 （-1）・（-1）＝1 という等式が成り立つのであれば、 与式＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1＝1 ということになってしまい、なんだか矛盾します。 これがなぜなのかを、友達に分かりやすく教えたいのですが、 そもそも私自身なぜなのかが分からないので、皆さんに教えていただければと思います。 できるだけ分かりやすく答えていただけると嬉しいです。 回答よろしくお願いします。
- shure-neko
- お礼率82% (299/362)
- 数学・算数
- 回答数17
- ありがとう数17
- みんなの回答 （17）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
こんばんは。これよく間違えるんだ。 元代数学の非常勤ね～。 前にもこれ使って間違っていた人がいたなぁ～。 う～んと、なんていう定理だったか・・・。なんかあるよ。 もう少し簡単に行くと、 ルートの中に勝手に入れてはいけない！ ってこと。 ＞（√-1）・（√-1）＝-1 この式は、 ＞√｛（-1）・（-1）｝＝√1＝1 こうはならないんです。 簡単に行こう。 与式は （－１）＾（１／２） × （－１）＾（１／２） ＃（－１）の （１／２）乗ね。 ＝（－１）＾｛（１／２）＋（１／２）｝＝（－１）＾１ もしくは ＝（－１）＾｛（１／２）×２｝＝（－１）＾１ とやるところ。 累乗の計算は勝手に中入れちゃダメ！ってことです。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=)
その他の回答 (16)
#16です。 次の問題を解け。 X^2－５X＋６＝０ とあるとき、 （X-2)（X-3)＝０ とやり、 X=3、２ とやるであろう。 このとき注意すべきはX=3か２であって X=3と２は同時に成り立たない。 ここを間違う慌てものが過去の回答者にも見受けられる。 ”Xが2の時、Xは3ではない。” ”Xは２なのだ。” 同じく ”Xが３の時、Xは２ではない。” ”Xは３なのだ。” つまりは ＃１６においてA系列とB系列は同時に成り立たない どちらか一方なのだ。 また同じ系列の中でもどれか一つであって 決して同時に2個とか3個とか、複数個とか成り立たない。 ここのところをはっきりさせていないと 本問題で誤りを犯すことになる。
お礼
回答ありがとうございました。
＃１５です。 一般的に １＝１・１＝１＾２・・・・・・（A-1) １＝１・１・１＝１＾３・・・・・（A-2) ・ ・ ・ １＝１・１・１・・・・１＝１＾ｎ・・・・（A-n) が成り立つ。 また １＝（－１）・（－１）＝（－１）＾２・・・・・（B-1) １＝（－１）＾４・・・・・・・（B-2) ・ ・ ・ １＝（－１）＾（２ｎ）・・・・・・（B-２ｎ） も成り立つ。 しかし、ここで注意すべきは、A系列かB系列か成り立つのであって、A系列とB系列が同時に成り立つのではない。 また同じ系列でも、その中のひとつが成り立つのであって 全てが成り立つのではない。 具体的には （Aー１）、（B-1)から （－１）・（－１）＝１＝１・１ とやってはいけない。 なぜなら、両辺の√を採ると ”－１＝１”となり、質問文の原因がそのまま露呈することになる。 誤りの原因はまさにここにあるのである。
お礼
回答ありがとうございました。
＃１４です。 まだおかしいので、訂正です。 -1=i＾２・・・・・・（１） ＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２） ＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（３） ＝1・・・・・（４） －１＝１となり、おかしいので、どこが誤りか教えて チョーダイということらしい。 -1=i＾２・・・・・・（１） i＾２＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２） これは良いだろう。i＝（√-1）そのまま。 （√-1）・（√-1）＝√｛（-1）・（-1）｝・・・・（３） この式は間違いやすい。しかし、ここはただしい。 （√-1）・（√-1）＝exp[πi]＾(1/２）・exp[πi]＾(1/２） ＝｛exp[πi]・exp[πi]｝＾(1/２） ＝｛（－１）・（－１）｝＾(1/２） ＝√｛（-1）・（-1）｝ となり、（３）式は正しい。 √｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（４） （４）式は正しい。 なぜなら （－１）・（－１）＝１ なので。 √1＝１・・・・・（９） ここが誤り。 （９）式に於いて、 左辺＝√1＝√（１）＾２＝１＝右辺 とやたはずで、それがいけない。 ”１”を勝手に２乗して”（１）＾２”とやってはいけない。 もちろん、一般的には １＝１・１＝１＾２・・・( １０ ） は正しい。 しかしここでは（４）式より １＝（－１）・（－１）＝（－１）＾２・・・・( １１ ） であって。√１＝√{（－１）＾２}なのだ。 ”１”と言う時、それは 二個の情報を持つ。 （１０）式と（１１）式だ。どちらも正しい。 ところが、（９）式に於いて（４）式より（１１）式の情報なのに、それを消し去り、勝手に（１０）式の情報に置き換えたのが 誤りの原因ですね。 以上
お礼
回答ありがとうございました。
＃７です。 -1=i＾２・・・・・・（１） ＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２） ＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（３） ＝1・・・・・（４） －１＝１となり、おかしいので、どこが誤りか教えて チョーダイということらしい。 -1=i＾２・・・・・・（１） i＾２＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２） これは良いだろう。i＝（√-1）そのまま。 （√-1）・（√-1）＝√｛（-1）・（-1）｝・・・・（３） この式は間違いやすい。しかし、ここはただしい。 （√-1）・（√-1）＝exp[πi]＾(1/２）・exp[πi]＾(1/２） ＝｛exp[πi]・exp[πi]｝＾(1/２） ＝｛（－１）・（－１）｝＾(1/２） ＝√｛（-1）・（-1）｝ となり、（３）式は正しい。 √｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（４） 左辺＝√｛（-1）・（-1）｝ ＝｛exp[πi]・exp[πi]｝＾(1/２） ＝｛exp[２πi]｝＾(1/２） ＝｛exp[πi]｝ ＝－１ となり、右辺の”√1”とならない。 つまり、（４）式が誤り。 中身だけ、勝手に取り出し、 （-1）・（-1）＝１ とやったのが、まずかったね。 以上
お礼
回答ありがとうございました。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
Ｎｏ．３，１０です 「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」×「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」 ＝「｛ｅ＾（ｉπ）｝×｛ｅ＾（ｉπ）｝」＾（１／２） ここが違います。 ---------------------------------- ＞ここが違いますって、どう違うの？ ＞正解を言って。 ご自分でもかかれてますね？ 「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」×「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」 ≠「｛ｅ＾（ｉπ）｝×｛ｅ＾（ｉπ）｝」＾（１／２） これはそのまま、ルートの中に入れているでしょう？ ここで ルートの中身だけ計算してしまうと、 ｛ｅ＾（ｉπ）｝＾２ になって ｅ＾（ｉ２π）＝１ とできます。 そこでルートかけて、 √１ ＝ １ とかわけの分からないことをやってしまう。。。 これをやらないように、ルートの中に入れない方がいいと思うんです。 ＃もちろんどのレベルかによるんだけど、この質問者さんが大学生とは思えないので。 ＃少なくとも、複素平面上の動きなんかを考えられるレベルではないでしょうし。 ルートの中に入れる計算でも同じ答えになるんだけど、 ＃ひとつ前にやられています。 ＃σ(・・*)たちには間違いではないけど、 ＃この子達にとっては良くないと思う。 質問者さんが困らないように、変に考えなくていいように、 ＃これは大学レベルで、複素解析でやる話でしょうからね。 √（－１）×√（－１）＝｛「ｅ＾（ｉπ）」＾２｝＾（１／２） とやらずに、 ＝ ｛「ｅ＾（ｉπ）」＾（１／２）｝＾２ とやった方がいいのかな？ と思う。特にここは間違いやすいから。 基本線これで間違いではありませんからね。 せっかく分かろうとしてある方を混乱させてはいけないでしょう？ 難しい話はどうせ先でやるんだから、今の段階でこうですよ！ といえることをしっかり。 これで間違い？ √（－１） × √（－１） ＝ ｛√（－１）｝＾２ ＝（－１） こうやるのが先でしょう？って話です。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=) 対象を考えないと、質問者さんが混乱するだけですよ。
お礼
回答ありがとうございました。
-1=i＾２・・・・・・（１） ＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２） ＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（３） ＝1・・・・・（４） －１＝１となり、おかしいので、どこが誤りか教えて チョーダイということらしい。 （３）式が誤り。 √｛（-1）・（-1）｝ ＝｛（-1）・（-1）｝＾(1/2） ＝｛exp[iπ]・exp[iπ]｝＾(1/2） ＝｛exp[i２π]｝＾(1/2） ＝exp[iπ]＝－１ となり、”√１”にならない。
お礼
回答ありがとうございました。
「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」×「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」 ＝「｛ｅ＾（ｉπ）｝×｛ｅ＾（ｉπ）｝」＾（１／２） ここが違います。 ---------------------------------- ここが違いますって、どう違うの？ 正解を言って。
お礼
回答ありがとうございました。
- B-juggler
- ベストアンサー率30% (488/1596)
えっと、質問者さんが困惑する回答はやめませんか？ Ｎｏ．９さん。 Ｎｏ．７とＮｏ．９でご自身の回答が矛盾してますよ。 複素解析の専門かもしれませんが、代数屋に間違い指摘されていては どうにもならないのでは？ －１＝ｅ＾（ｉπ） 「質問者さんはご存じないかもしれません、無視して結構」 今 √（ー１） × √（－１） を 取り使っているのですから、 与式＝「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」＾２ ＝ ｅ＾（ｉπ）＝－１ で何も問題ない。 一応上げておくと、 「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」×「｛ｅ＾（ｉπ）｝＾（１／２）」 ＝「｛ｅ＾（ｉπ）｝×｛ｅ＾（ｉπ）｝」＾（１／２） ここが違います。 (=^. .^=) ｍ（＿ ＿）ｍ (=^. .^=) ド・モアブルの定理だっけ？？
お礼
回答ありがとうございました。
みんな寝言みたいなこと言ってるが、そんなことナイデ。 よく、確かめないで、雰囲気で適当にモノ言ってることが分かるな。 （√-1）・（√-1）⇔ √｛（-1）・（-1）｝＝√1 （√-1）・（√-1） ＝（e[i（π）]）＾(1/2）・（e[i（π）]）＾(1/2） ＝｛（e[i（π）]）・（e[i（π）]）｝＾(1/2） ＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1
お礼
回答ありがとうございました。
-1=i＾２・・・・・・（１） ＝（√-1）・（√-1）・・・・・・（２） ＝√｛（-1）・（-1）｝＝√1・・・・・（３） ＝1・・・・・（４） －１＝１となり、おかしいので、どこが誤りか教えて チョーダイということらしい。 誤りは（３）、（４）に於いて、 √1＝１としたことだ。 √（1＾２）＝１としたはずだ。 ”√1”は”√1”であって、√（1＾２）ではない。 すなはち √1≠√（1＾２） すなはち １≠１＾２である。 １＝（e[i（２π）]）であって １＾２＝（e[i（２π）]）＾２＝e[i（４π）]ではない。 すなはち、 （e[i（２π）]≠e[i（４π）] １≠１＾２である 複素数に於いてかってに”（１＾２）”とやってはいけない。 ”＾２”は複素数に於いては大事な情報だ。 もともとなかった情報を勝手に追加してはいけない。
お礼
回答ありがとうございました。
- 1
- 2
お礼
ルートの掛け算の時に、ルートの中身同士をかけていいのは、中身が実数の時のみということですね。 回答ありがとうございました。