複素数の問題

質問

複素数が

z^3=-10+9√3i

を満たす時、zz*とz+z*を求めよ。
ただし、iは虚数単位、z*はzの共役複素数とする。

という問題です。

z=a+bi
z=r(cosθ+isinθ)
の2つのやり方でやってみましたが、どちらもうまく行きませんでした。
わかる方いらっしゃいましたら、ご指導お願いします。

回答No.2

k14i12d · ベストアンサー

二つの実数a、bを用いて、
z=a+bi
とおくと、条件より、a^3-3ab^2=-10 ←(1)
3bia^2-(b^3)i=9√3i ←(2)
がわかります。
ところで、z*=a-biなので、
z*^3=a^3-3bia^2-3ab^2+(b^3)i
なので、(1)、(2)を用いると、-10-9√3i
がわかります。
よって(z^3)(z*^3)=(100+243)^3
つまり(zz*)^3=343^3
よって、zz*が実数となることを考慮して、zz*=343
さて、(z+z*)^3=(2a)^3がわかるので、(∵zとz*が共役だから。)
展開して、
z^3+3z^2z*+3zz*^2+z*^3=-10+9√3i-10-9√3i+3・343z+3・343z*
=-20+3・343(z+z*)=-20+3・343・2ａ
⇔8a^3-3・343・2a+20=0
⇔4a^3-1029a+10=0
これを満たす適当な実数aを探すと、あれ？計算ミスった？
まあ考え方はこんな感じで、出来るとおもいます。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.1

rnakamra

zz*=|z|^2
という関係はご存知だと思います。
|z|^3=|z^3|=|-10+9√3i|
ですので
zz*=|z|^2=|z^3|^(2/3)=|-10+9√3i|^(2/3)
となります。

z+z*
次の恒等式を使ってみましょう。
(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)
xにz,yにz*を入れるとz+z*に関しての3次方程式が得られます。この3次方程式はさほど難しいものではありません。

お礼

ご回答ありがとうございました。