虚数の定義について

質問

教科書では虚数は、i^2=-1と定義されていますが、これは実数上で累乗の計算が可能であり、そこから複素数上でも累乗可能だと仮定が組み込まれているように思います。しかし、√-1×√-1≠1のように実数上で成り立っていた計算が、複素数上で成り立他なくなる事例があるように、仮定が成り立たなくなり、教科書の方法では矛盾が生じてしまうと思いますが、どうでしょうか？

回答No.3

nananotanu

>√-1×√-1≠1
そもそも、此処が間違っています。

√a×√a=a^2において
a=1の時は成り立ちますよね
a=-1の時は、素直に代入して
√-1×√-1=(-1)^2=1≠-1で成り立たない、というわけでなく
√-1はiなので
√-1×√-1=(i)^2=-1と考えればいいのです。なんでこんな変なことになったかというと、先の回答者さんが書かれたように√a×√a=a^2は実数に於いて成り立つ式なのに、虚数に当てはめようとしたからです。

回答No.2

f272

実数で成り立っていた計算は，すべて複素数上でも成り立ちますよ。

> しかし、√-1×√-1≠1のように実数上で成り立っていた計算

これは実数上の計算ではありません。

回答No.1

watanabe04

√-1×√-1≠1のように実数上で成り立っていた計算

根号の中にマイナスが入った時点で複素数の計算となり、
実数の計算ではありません。正しくは
√-1×√-1=i×i=-1 となります。