数学の証明が全くわかりません

質問

図は少しぐちゃぐちゃですが、面心立方格子です。この図に点A,B,C,A',B',C'をとるとき、三角形ABCと三角形A'B'C'がともに正三角形であることを証明しなければいけませんが、考えてもわからないので、教えてください。(点A',B',C'は中点みたいです。)できれば、解いてほしいです。

回答No.3

yyssaa

解いてほしいです。
＞何を解くのですか？
面心立方格子を正六面体とすれば、三角形ABCの各辺の長さは
同じ大きさの正方形の対角線の長さですから全て等しく、正三角形
になりますね。計算は不要です。
点A',B',C'は中点である必要はありません。
AA'の延長線上の頂点を（図ではOに見えるので）Oとすると、
OA'=OB'=OC'であれば、三角形A'B'C'も正三角形になります。
何故なら、三角形OAC三角形OAB三角形OBCは同じ大きさで
同じ形（合同）ですから、OA'=OB'=OC'であれば、A'B'=B'C'=C'A'
となるからです。これも計算は不要です。
　なお、OA'=OB'=OC'=正方形の対角線の長さ
になると、三角形A'B'C'は三角形ABCになります。

回答No.2

ferien

図は少しぐちゃぐちゃですが、面心立方格子です。この図に点A,B,C,A',B',C'をとるとき、
＞三角形ABCと三角形A'B'C'がともに正三角形であることを証明しなければいけませんが、考えてもわからないので、教えてください。
＞(点A',B',C'は中点みたいです。)できれば、解いてほしいです。

面心立方格子の１辺をａとすると、
ＡＣ，ＢＣ，ＡＢとも等辺がａの直角二等辺三角形の斜辺だから、
ＡＣ＝ＢＣ＝ＡＢ＝√２ａより、３辺が等しいから、
△ＡＢＣは正三角形

Ａ'からＯＤに、Ｃ'からＯＤに垂線を引き、共通の交点をＨとする。
△ＯＡＤと△ＯＣＤで、Ａ'Ｈ//ＡＤ，Ｃ'Ｈ//ＣＤで、Ａ'はＯＡのＣ’はＯＣの中点だから、
中点連結定理により、ＨはＯＤの中点。
よって、Ａ'Ｈ＝(1/2)ＡＤ，Ｃ'Ｈ＝(1/2)ＣＤだから、Ａ'Ｈ＝Ｃ'Ｈ＝ａ／２
△Ａ'ＨＣ'は、直角二等辺三角形だから、その斜辺Ａ'Ｃ'は、√２×（ａ／２）＝√２ａ／２
Ｂ'Ｃ'，Ａ'Ｂ'についても同様だから、Ａ'Ｃ'＝Ｂ'Ｃ'＝Ａ'Ｂ'＝√２ａ／２より、
３辺が等しいから、△Ａ'Ｂ'Ｃ'は正三角形

でどうでしょうか？

回答No.1

leeway76

面心立方格子って面が正方形で、ようするに立方体だと記憶しています。（記憶違いだったらごめんなさい）

三角形ＡＢＣはそれぞれ、面の対角線でできている三角形なので、どの対角線も長さが同じ。つまり正三角形の条件にあっているので、正三角形ですよね。

三角形A'B'C'はそれぞれの面の中心点を通るので、それぞれの面の対角線であるといえます。
よって三角形A'B'C'も三角形ＡＢＣも同じ正方形の面の対角線をで形成された三角形なので同形の三角形であり、正三角形といえる。

ではないでしょうか。