高校数学 図形の証明問題

質問

点Oを中心とする半径1の球面上に3点A,B,Cがある。線分BC,CA,ABの中点をそれぞれP,Q,Rとする。線分OP,OQ,ORのうち少なくとも1つは長さが1/2以上であることを証明せよ。

自分の解答（以下の↑はベクトルを表します）
↑OA=↑a, ↑OB=↑b, ↑OC=↑cとすると、|↑a|=|↑b|=|↑c|=1
↑OP=(↑b+↑c)/2, ↑OQ=(↑a+↑c)/2, ↑OR=(↑a+↑b)/2より、
↑aと↑c, ↑aと↑b, ↑bと↑cのなす角をそれぞれα,β,γとおくと
|↑OP|=√2(1+cosγ)/2, |↑OQ|=√2(1+cosα)/2,|↑OR|=√2(1+cosβ)/2
∴ 1+cosα>1/2 または 1+cosβ>1/2 または 1+cosγ>1/2であればよく
すなわち 0<α<2π/3 または 0<β<2π/3 または 0<γ<2π/3 ー(1)を示せばよい。
４点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの内部にある場合 α+β+γ=2πだから(1)は成り立つ。
４点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの外部にある場合 例えば点Oが直線BCの下側にあるときα+β<πであり、OがAB,ACの下側にある場合も同様にそれぞれα+γ<π , β+γ<πであるから(1)は成り立つ。
また、O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2πだから(1)は成り立つ。
以上より、題意は示された。

上のような解答で証明が正しくできているのか自信がないので（特に「４点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形ABCの外部にある場合」と「O,A,B,Cが同一平面上にない場合」）添削をよろしくお願いいたします。

回答No.1

noname#171951 · ベストアンサー

＞∴ 1+cosα>1/2 または 1+cosβ>1/2 または
＞ 1+cosγ>1/2であればよく

等号はなくていいのですか？

＞0<α<2π/3 または 0<β<2π/3 または
＞0<γ<2π/3 ー(1)を示せばよい。

等号は？
それと、角度は0以上π以下のしか考えないという
意味ですか？もしそうなら明示しないといけません。

＞４点O,A,B,Cが同一平面上にあり、点Oが三角形
＞ABCの内部にある場合 α+β+γ=2πだから(1)
＞は成り立つ。

これだけだと論証が不十分です。

＞下側

とは何ですか？
いいたいことはなんとなくわかりますが・・・
それと、

＞だから(1)は成り立つ。

これも論証が不十分です。
理由を書きましょう。

＞O,A,B,Cが同一平面上にない場合 α+β+γ<2π
＞だから

これって明らかなのでしょうか？
この証明だけで１つの問題になりそうです。

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一番最初に戻り、解き方の方針として、自分なら
背理法を使いたいです。つまり、

|↑OP|<1/2,かつ |↑OQ|<1/2,かつ |↑OR|<1/2

と仮定して矛盾を導きます。

1>4|↑OP|^2
=|↑b+↑c|^2
=|↑b|^2+|↑c|^2+2(↑b・↑c)
=1+1+2(↑b・↑c)

整理して,、↑b・↑c<-1/2
同様にして、↑a・↑b<-1/2, ↑c・↑a<-1/2

このとき、
↑c・(↑a+↑b)=(↑c・↑a)+(↑c・↑b)<-1/2-1/2=-1
ところがシュワルツの不等式より
↑c・(↑a+↑b)≧-|↑c||↑a+↑b|>-1×1=-1
となって、-1<-1
これは矛盾。

※シュワルツの不等式を知らない場合は、
　↑cと(↑a+↑b)とのなす角度をθとして
　-1>↑c・(↑a+↑b)=|↑c||↑a+↑b|cosθ
　よりcosθ<-1/(|↑c||↑a+↑b|)<-1
　として、コサインの性質であるcosθ≧-1
　に矛盾することをいう。