密度について

質問

面心立方格子の問題なのですが良く分からないので解説、回答お願いします。

ある金属Aと同じ面心立方格子の金属Bは、原子量はAの4倍であるが、単位格子の一辺の長さは金属Aより約0,7％大きい。金属Aの密度が2,7g/cm^3であるとすると、金属Bの密度はいくらか。

宜しくお願いします。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

順を追って丁寧に考えれば、特に難しくはない問題です。

まずは面心立方格子の図を書いてみます。図の立方体の一辺をaとします。●は金属の原子を表します。

　　　　●－－－－－●
　　　／　　／　　／｜
　　／－－●－－／　｜　
　／　　／　　／｜　｜　
●－－－－－●　｜／｜
｜　　｜　　｜　●　｜　
｜　　｜　　｜／｜　●
｜－－●－－｜　｜／
｜　　｜　　｜　／
｜　　｜　　｜／
●－－－－－●

←－－－－→
　　一辺 a

まず、金属Aについて考えてみます。金属Aの原子量をM_Aとします。
面心立方格子ですから、単位格子に含まれる原子の数は4個です。(頂点にいる原子8個は1/8ずつ含まれ、面の中央にいる原子6個は1/2ずつ含まれるので)
また原子1個の質量はM_A÷N_Aと表されます。N_Aはアボガドロ数です。
ではこれらの数字から密度を計算してみましょう。
一辺がaの立方体、すなわちa^3なる体積の中に4個の原子が存在し、その質量の合計は4×M_A÷N_Aですから、密度は質量÷体積で
4×M_A／(N_A×a^3)
と求められます。題意よりこれが2.7 [g/cm^3]に等しいことが分かります。

次に、金属Bについて考えてみます。金属Bの原子量をM_Bとします。
金属Bも同様に面心立方格子ですから、単位格子に含まれる原子の数は4個です。
原子1個の質量はM_B÷N_Aと表されます。N_Aはアボガドロ数です。
同様に密度を計算します。
一辺が1.007aの立方体、すなわち(1.007)^3×a^3の体積の中に4個の原子が存在し、その質量の合計は4×M_B÷N_Aですから、密度は
4×M_B／{N_A×(1.021147343)×a^3}
ということになります。題意より金属Bの原子量は金属Aのそれの4倍ですからこれを代入すると密度は
4×4×M_A／{N_A×(1.021147343)×a^3}
= {4÷(1.021147343)}×{4×M_A／(N_A×a^3)}
と表せます。
金属Aのところで考察したように4×M_A／(N_A×a^3) = 2.7 [g/cm^3]ですから、これを代入すると求める密度は
4×2.7÷(1.021147343)
= 10.57633... ≒10.6 [g/cm^3]
ということになります。

お礼

ありがとうございました。よく分かりました。