数学の問題です｡どなたかお願いします｡

質問

この問題では,eは自然対数の底,logは自然対数を表す｡
実数a,bに対して, 直線l:y=ax+bは曲線C:y=log(x+1)と,x座標が0≦x≦e-1を満たす点で接しているとする｡
(１)このときの点(a,b)の存在範囲を求め,ab平面上に図示せよ｡
(２)曲線Cおよび3つの直線l,x=0,x=e-1で囲まれた図形の面積を最小にするa,bの値と,このときの面積を求めよ｡

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
接点のx座標をtとすればat+b=log(t+1) かつa=1/(t+1)が成り立つ。
ここからt=1/a-1で0≦t≦e-1だから1/e≦a≦1
またat+b=log(t+1)よりb=a-1-log(a)
これを図示すればよい。
(2)
求める面積は
S=∫(ax+b-log(x+1))dx　積分範囲はx=0からx=e-1
S=(a/2)(e-1)^2+b(e-1)-1
S=(a/2)(e-1)^2+(a-1-log(a))(e-1)-1
dS/da=(1/2)(e-1)^2+(1-1/a)(e-1)となってこれが0となるのは1/a=(1/2)(e-1)+1のとき，つまりa=2/(e+1)のときにSは最小になる。
このとき
b=a-1-log(a)=2/(e+1)-1-log(2/(e+1))
S=(e-1)^2/(e+1)+2(e-1)/(e+1)-(e-1)-(e-1)log(2/(e+1))-1
S=(e-1)log((e+1)/2)-1