数学の問題

質問

数学（主に微積分）についての問題です。
以下の問題が分からず、困っています。

どなたか分かる方がいましたら、よろしくお願いいたします。
（全てではなくて、分かる問題1問だけなどでも結構です。）

(1)∫（1+cosx)/(1+sinx)^2　の値

(2)x=t cos1/t、y=t sin1/t （1≦t≦2）　の曲線の長さ

(3)x=3t^2、y=3t-t^2(0≦y≦2)　の曲線の長さ

(4)円柱y^2+z^2=a^2の、球x^2+y^2+z^2=2a^2　の内部にある部分の曲面積

(5)平面　fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)-(-z-f(a,b))=0　　に垂直なベクトルが
（fx(a,b)、fy(a,b)(y-b)、-1）　と表される理由

回答No.4

alice_44

まあ確かに、
このサイトで丸投げ丸教えしてもらっても、
パソコンに計算を代行してもらっても、
答えが得られることも、勉強にならないことも
一緒だから、いっそのこと Wolfram でもよい
のかもしれない。結果については、自己責任で。

回答No.3

info22_

#1です。

A#1の補足質問について

>>（２）（３）媒介変数の公式を使うまでは分かるのですが、その後の積分の計算が思うようにいきませんでした。ただ、これも（１）のサイトを使えば分かりそうです。
分からなければ分かる所までの計算過程を補足に書いた上で、行き詰って分からない箇所を質問して下さい。

>（４）凄く分かりやすいのですが、曲面積の公式を使った場合はどのようになるか分かりますでしょうか？
あなたがやった所までの計算過程を補足に書いて、行き詰って分からない所は質問下さい。

>（５）何となく方法は分かったのですが、
>>(A)の微分をとると
　fx(a,b)dx+fy(a,b)dy-dz=0
この式の導出法があまりよく分かりません。この部分はどの変数について微分をとっているのでしょうか？

単に全微分（つまり、全ての各変数について微分）をとっただけ。全微分についてより詳しく知りたければ以下をご覧下さい。
参考URL
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node83.html
http://www.e.okayama-u.ac.jp/~murai/lec/2011/ecmath/pdf/n09.pdf

参考URL：

http://econ.atnifty.com/?%C1%B4%C8%F9%CA%AC

回答No.2

Tacosan

(5) については「微分」もなにもなく
平面 ax+by+cz+d=0 の法線ベクトルが (a, b, c) と書ける
だけで十分でかと＞#1.

回答No.1

info22_

(1)I=∫（1+cosx)/(1+sinx)^2 dx　の値
I=2∫cos^2(x/2)/{sin(x/2)+cos(x/2)}^4 dx
=-(4/3)cos^3(x/2)/{sin(x/2)+cos(x/2)}^3 +C

参考URLによる導出過程
「http://www.wolframalpha.com」で「integrate((1+cos(x))/(1+sin(x))^2,x)」と入力、
「Show steps」をクリックすると詳しい計算過程が見られます。

(2)x=t cos1/t、y=t sin1/t （1≦t≦2）　の曲線の長さ
(3)x=3t^2、y=3t-t^2(0≦y≦2)　の曲線の長さ
曲線の長さの公式（媒介変数タイプ）を使う。
参考URL：
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/kyokusen-no-nagasa.html
s=∫[a,b]√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
(2)[a,b]=[1,2], (3)[a,b]=[0,1]

(4)円柱y^2+z^2=a^2の、球x^2+y^2+z^2=2a^2　の内部にある部分の曲面積
図を描くと半径a,長さ2aの円筒の曲面積となるので
S=2πa*2a=4πa^2

(5)平面　fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)-(-z-f(a,b))=0
間違っていませんか？
正：平面　fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)-(z-f(a,b))=0 …(A)

(A)の微分をとると
fx(a,b)dx+fy(a,b)dy-dz=0
これはベクトルの内積で表すことができる。
(fx(a,b),fy(a,b),-1)・(dx,dy,dz)=0
ベクトル(dx,dy,dz)は(A)の平面の接ベクトル（平面に平行なベクトルでもある）に他ならない。
内積が0なのでベクトル(fx(a,b),fy(a,b),-1)は平面(A)に垂直なベクトルである。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。

（1）こんな便利なサイトがあったのですね。
　参考にさせていただきます。

（２）（３）媒介変数の公式を使うまでは分かるのですが、その後の積分の計算が思うようにいきませんでした。ただ、これも（１）のサイトを使えば分かりそうです。

（４）凄く分かりやすいのですが、曲面積の公式を使った場合はどのようになるか分かりますでしょうか？

（５）何となく方法は分かったのですが、

＞(A)の微分をとると
　fx(a,b)dx+fy(a,b)dy-dz=0
この式の導出法があまりよく分かりません。この部分はどの変数について微分をとっているのでしょうか？

わざわざ答えていただいたのに、質問ばかりで申し訳ないですが
可能なら教えていただけると助かります。