微分法

質問

曲線ｙ=2ｘ^3－3ｘをＣとする。
（１）Ｃ上の点（ａ、2ａ^3-3ａ）におけるＣの接線の方程式はｙ=（6ａ^2－3）ｘー4ａ^3である。
（２）上で求めた接線が点（1、ｂ）を通るのは
ｂ=ー4ａ^3+6ａ^2－3が成り立つ時である。
（３）したがって、点（1、ｂ）からＣへ相異なる３本の接線が引くことができるのは（　　）<ｂ<（　　）のときである。

（３）が分かりません。（１）（２）も問題だったんですが解けたので書いておきました。解き方と説明（式）など教えて下さい！よろしくお願いします。

回答No.2

mirage70 · ベストアンサー

No711913は異なりますが、参考にして考えてください。
b=-4a^3+6a^2-3のaは、曲線ｙ=2ｘ^3－3ｘ上の点（ａ、2ａ^3-3ａ）における接点であり、この点の接線は点（1、ｂ）を通ると言うことになります。
この時に、相異なる３実数aに対して、同一のbが成立すれば、点（1、ｂ）より曲線ｙ=2ｘ^3－3ｘに３本の接線を引けることになります。
即ち、b=-4a^3+6a^2-3 の極大、極小の間にbを取れば３本接線を引けることになります。
bをaで微分して、b'=0となるaを求め、此を代入してbの値を出して、この間にbを取れば解答になります。
此が、#1の方のアドバイスです。

お礼

詳しい回答ありがとうございます！分かりやすかったです。

回答No.1

noname#6715

(2)を言い換えれば
Cからは
b=-4a^3+6a^2-3
を満たすaからしか接線が引かれません。
aについて(bは定数)異なる2つの解a1,a2が出たら
Cから(a1,2a1^3-3a1)(a2,2a2^3-3a2)の2点から引ける
同様に3点から引くにはaが3つの異なる実数解を持つ必要があります
これを踏まえて変数分離法の式として解きます
この方程式は
y=b
と
y=-4a^3+6a^2-3の交点です。
前者のグラフはx軸に平行な直線だし、
後者も微分すればa-bグラフとして描くことができる。

で、その交点が3点になるかならないかはbを動かして
考えればわかります

お礼

ありがとうございます！参考になりました。