数II・微分積分

質問

【問１】曲線C：y=x^３-３xと点A(１,b)がある。このとき、Aを通りCに相異なる３本の接線が引けるbの値の範囲を求めよ。
C上の点(a,a^３-３a)における接線の方程式はy=ア(a^イ-ウ)x-エa^オである。
また、この接線が点(１,b)を通るのはb=カキa^ク+ケa^コ-サが成り立つときである。
したがって、点(１,b)からCに相異なる３本の接線が引けるbの値の範囲はaについての方程式b=カキa^ク+ケa^コ-サが異なる３つの実数解をもつ条件と同じ値であるからシス＜b＜セソである。

【問2】
(1)f(x)=ax＋bについて∫(1→0)f(x)dx=∫(1→0)xf(x)dx=1が成り立つとき、a,bの値を求めよ。
(2)2次関数f(x)について、f(1)=0、f´(1)=2、∫(3→1)f(x)dx=12が成り立つとき、このf(x)を求めよ。
(3)∫(1→-1)3(ax+4-a)^2dxを最小にするaの値と、その最小値を求めよ。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞【問１】曲線C：y=x^３-３xと点A(１,b)がある。このとき、Aを通りCに相異なる３本の接線が引けるbの値の範囲を求めよ。
＞ C上の点(a,a^３-３a)における接線の方程式はy=ア(a^イ-ウ)x-エa^オである。
y'＝3x^2－3　より、傾き＝3a^2－3　より、
y－(a^3－3a)＝3(a^2－1)(x－a)　よって、y＝3(a^2－1)x－2a^3　…アイウエオ

＞ また、この接線が点(１,b)を通るのはb=カキa^ク+ケa^コ-サが成り立つときである。
x＝1，y＝bを代入して、b＝3(a^2－1)・1－2a^3＝－2a^3＋3a^2－3　…カキクケコサ

＞ したがって、点(１,b)からCに相異なる３本の接線が引けるbの値の範囲はaについての方程式b=カキa^ク+ケa^コ-サが
＞異なる３つの実数解をもつ条件と同じ値であるからシス＜b＜セソである。
ｙ＝b，y＝－2x^3＋3x^2－3とおいて、この2つのグラフの交点が3つになる場合のbの範囲を求める。
y'＝－6x^2＋6ｘ＝－6x(x－1)　y'＝0より、x＝0，1のとき極値をとる。
増減表をつくると、
x＜0のとき、y'＜0，0＜x＜1のとき、y'＞0，1＜xのとき、y'＜0
x＝0のとき、極小値-3，x＝1のとき、極大値＝-2
よって、グラフより異なる３つの実数解をもつbの範囲は、-3＜b＜-2　…シスセソ

＞【問2】
＞ (1)f(x)=ax＋bについて∫(1→0)f(x)dx=∫(1→0)xf(x)dx=1が成り立つとき、a,bの値を求めよ。
∫(0→1)f(x)dx＝∫(0→1)(ax＋b)dx＝1，∫(0→1)xf(x)dx＝∫(0→1)x(ax＋b)dx＝1
上の積分を計算して、連立方程式をつくり、解くと、a＝6，b＝-2

＞ (2)2次関数f(x)について、f(1)=0、f´(1)=2、∫(3→1)f(x)dx=12が成り立つとき、このf(x)を求めよ。
2次関数f(x)＝ax^2＋bx＋c（a≠0）とおくと、f'(x)＝2ax＋b　
f(1)＝a＋b＋c＝1　……(1)，f'(1)＝2a＋b＝2　……(2)
∫(1→3)f(x)dx＝∫(1→3)(ax^2＋bx＋c)dx＝12　……(3)
(3)の積分を計算して、(1)～(3)の連立方程式を解くと、a＝3，b＝-4，c＝1
よって、代入して、f(x)を求めます。

＞ (3)∫(1→-1)3(ax+4-a)^2dxを最小にするaの値と、その最小値を求めよ。
∫(-1→1)3(ax+4-a)^2dx
＝∫(-1→1)3(a^2x^2＋16＋a^2＋8ax－8a－2a^2x)dx
＝3{∫(-1→1)a^2x^2dx＋∫(-1→1)(8a－2a^2)xdx＋∫(-1→1)(a^2－8a＋16)dx}
f(x)＝xは奇関数だから、∫(-1→1)(8a－2a^2)xdx＝0，　他は偶関数だから、
＝3{2∫(0→1)a^2x^2dx＋2∫(0→1)(a^2－8a＋16)xdx}　
＝8a^2－48a＋96
＝8(a^2－6a＋9)－72＋96
＝8(a－3)^2＋24
よって、a＝3のとき、最小値＝24

積分の計算など、計算については自分で確認してみてください。

回答No.1

amer1

それぞれ，どの部分が分からないか教えてもらえますか？

ちなみに，こんなことを知っていればこの問題は解ける，という事項をあげました．
回答の参考にしてください．

問1
・接線の方程式の求め方
・関数の微分
・接線がある点を通る条件
・3次方程式の概形
・3次方程式が相異なる実数解を持つ条件

問2
・多項式の積分
・多項式の積分
・連立方程式の解き方
・関数の最小値の求め方