微分法

質問

ｙ＝ｘ＾３－９ｘ＾２＋１５ｘ－７に対して、点(０、ａ)から異なる３本の接線を引くことが出来るように、実数ａの範囲を求めなさい。

まず上の式を微分してｙ´＝３ｘ＾２－１８ｘ＋１５にしました。そして、ｘ＝ｔにおける接線の方程式をたてようと思ったのですが、どのように立てればよいのでしょうか？大変簡単な事を質問していると思いますが、教えて下さい。
方程式を立てた後の解き方は、大体分かります。回答おねがいします。因みに、答えは－７＜ａ＜２０となっています。

回答No.2

Lylyco · ベストアンサー

接線の数は接点の数と同じですから、ｙ＝ｆ（ｘ）としたときの接点を（ｔ，ｆ（ｔ））とすると、そのときの接線は、

ｙ＝（３ｔ^2－１８ｔ＋１５）ｘ－２ｔ^3＋９ｔ^2－７

となりますよね。これが（０，ａ）を通るから、

ａ＝－２ｔ^3＋９ｔ^2－７

という式が得られます。これを

ｙ＝ａ・・・（１）
ｙ＝－２ｔ^3＋９ｔ^2－７・・・（２）

の２式にわけて考えます。

（２）式のグラフをかいてみると（これはかけますよね？）、極小値が（０,－７）、極大値が（３,２０）となるので、（１）と（２）が異なる３つの交点を持つ範囲を求めると、－７＜ａ＜２０となりますね♪

頑張ってください ｐ(*^-^*)ｑ

お礼

なるほど、納得しました。グラフを書いてみると一目瞭然でした。これからも、質問した際はよろしくお願いします。

回答No.1

unos1201

Y'=3(x-1)(x-5) Y''=6x-18=6(x-3)

X....1...3...5....
Y'...0..-12..0....
Y''......0........

３次式は（０，－７）を通り、変極点Y''＝０はX=3のときで、そのときの傾斜はY'に当てはめるとー１２なので、そこを通過する接線はY=-12X+aで、（３，－１６）を通るので、Y=-12X+20となる（０，２０）を通過するのと（０，－７）のときは接線が２本でその間は３本ひけるので
－７＜A<20となります。図を書くと明らかです。

お礼

回答ありがとうございました。参考にします。