微分法

質問

aを正の数とする。xy平面上の曲線C1：y=x＾2のすべての点を〔a,(2a＾2/3)+1〕に関して対象移動して得られる曲線をC2とする。
(1)C2の方程式を求めよ
(2)C1とC2が異なる２点で交わるようなaの範囲を求めよ。
(3)aが(2)の範囲を動くとき、C1とC2の交点P,Qおよび、点R(0,2)を頂点とする三角形の面積を最大にするaの値を求めよ。

(1)y=-x＾2+4ax-8a＾2/3+2
(2)0＜a＜√3
(3)√〔2+√11〕/2
(1),(2)に関しては、あっていると思うんですが、(3)が自信ありません。どなたかこの答えをお願いします。
それから、(3)はC1=C2の式の解をα、βとして、直線PQの式をだして、点R(0,2)との距離hをだして、PQ×h×1/2＝(√a＾2の３次式)となり、この３次式の増減表をつかったんですが、かなり大変でした。ほかにいい方法があればお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

（1）と（2）二ついては正解ですね

（3）については、3点（0、0）、（x1、yi）（x2、y2）が作る三角形の面積は、（1/2）｜xiy2-x2y1｜で求められることは知られています。
この問題の場合も、それをy軸に2だけ平行移動したと考えれば、Ｐ（α、α＾2）、Ｑ（β、β＾2）、Ｒ（0、2）（α＞β）で作る三角形の面積は、Ｓ＝（1/2）｜（α-0）（β＾2-2）-（β-0）（α＾2-2）｜＝（1/2）｜（α-β）（αβ-1）｜となる。‥‥(1)
x＾2＝-x＾2+4ax-8a＾2/3+2より、6x＾2-12ax＋8a＾-6＝0の2つの解がαとβより、解と係数の関係よりα＋β＝2a、αβ＝（8a＾-6）/6‥‥(2)
又、（α-β）＾2＝（α＋β）＾2-4αβであるから、それらを(1)に代入すると、Ｓ＝（4/9）｜（4a＾2＋3）√（3-a＾2）｜
a＾2＝t（0＜t＜3）と置くと、4a＾2＋3を根号の中に入れると、根号の中は、（3-t）*（4t+3）＾2となるから微分をつかって増減表を書くと、0＜t＜3の範囲でt＝7／4となる。このとき、a＝√7/2である。

＃計算は自信なし、検算してください。

回答No.1

noname#71905

(1)はあっていると思います。
(2)は、－√3＜a＜√3　ではないでしょうか

(3)あまり変わらないかもしれませんが、別解です

交点のx座標をα＝a－√{1－(1/3)a^2}，β＝a＋√{1－(1/3)a^2}として出した後に

直線PQのy切片をSとして
　　直線PQの式が、傾き(α＋β＝2a)、で{a，(2/3)a^2＋1}をとおることから
　　y＝2ax－(4/3)a^2＋1　となり　s(0，－(4/3)a^2＋1)

△PQR＝△PSR＋△QSR　として考えて
　　△PSR＋△QSR＝RS＊(β－α)＊(1/2)
　　　　RS＝2－{－(4/3)a^2＋1}＝(4/3)a^2＋1
　　　　β－α＝2√{1－(1/3)a^2}
△PQR＝{(4/3)a^2＋1}√{1－(1/3)a^2}

あとは、√{1－(1/3)a^2}＝t　(0≦t＜√3)として置き換え
　tの３次関数として・・・・