複素関数の問題です！

質問

考えても分からないのでおしえてください>_<

1、複素平面上で方程式 2|z|＝|3＋z|で定まる図形はどんな図形か？

2、複素平面上で不等号 |z－(i/2)| / |1＋(iz/2)| ＜1 の表す領域はどのような領域か？

です。よろしくお願いします(._.)

回答No.1

bran111

z=x+iyとおいて複素数p+iqの絶対値Aの定義

A=√(p^2+q^2)

に従って計算するだけです。

1、複素平面上で方程式 2|z|＝|3＋z|で定まる図形はどんな図形か？

z=x+iyを用いて

2|x+iy|=|3+x+iy|　⇒　2√x^2+y^2=√(3+x)^2+y^2　⇒　4(x^2+y^2)=(3+x)^2+y^2

整理して

x^2+y^2-2x-3=0

(x-1)^2+y^2=2^2

中心(1,0）、半径2の円

2、複素平面上で不等号 |z－(i/2)| / |1＋(iz/2)| ＜1 の表す領域はどのような領域か？

|z－(i/2)| / |1＋(iz/2)| ＜1　⇒　|z－(i/2)| ＜ |1＋(iz/2)|

z=x+iyを用いて

|x+iy－(i/2)| ＜ |1＋[i(x+iy)/2]| 　⇒　 |x+iy－(i/2)| ＜ |1-y/2＋ix/2| 　

　⇒　√x^2+(y-1/2)^2＜√(1-y/2)+(x/2)^2　⇒　x^2+(y-1/2)^2＜(1-y/2)+(x/2)^2

整理して

x^2+y^2<1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）

元の式の分母 |1＋(iz/2)| ＝|1-y/2＋ix/2|＝0となる点(0,2)は省かれるべきであるが式（1）の示す範囲には含まれない。

よって求める領域は原点を中心とする半径1の円の内部である。（周は含まない）