1階常微分方程式の問題が解けません

質問

大学の課題で出されたベルヌーイ型の微分方程式がどうしても解けません。
次のような問題です
　dx/dt-2(t^2+1)x=-2x^2/t

u=x^-1　とおいて同時線形微分方程式にすればいいのかと思ったのですが、
積分が難しくてとてもではないでけど解答の値がでてきませんでした。
解答の値は、
　x=±(t^3/4+t/2+c/t)^(1/2) c:任意定数
となっています。
uの置き方をもっと工夫すべきなのか、単に積分計算が出来ていないだけなのか分かりません。
このように数式を書くのが初めてなので分かり辛い書き方ですみません。
お手数ですがよろしくおねがいします。

回答No.1

quesaisje

機械的にやってみます。両辺を右辺にかかっているxの次数に合わせてx^2で割ります。
(1/x^2)dx/dt-2(t^2+1)/x=-2/t...(1)
1/x=zを新しい従属変数に選びます。すると、
dx/dt=d(1/z)/dt=-(1/z^2)dz/dt...(2)
となりますから、(1)は
(z^2)(-1/z^2)dz/dt-2(t^2+1)z=-2/t
即ち
dz/dt+2(t^2+1)z=2/t...(3)
です。これは定数変化法でとけるはずです。
まずdz/dt+2(t^2+1)z=0という同次方程式の解は変数分離できて
dz/z=-2(t^2+1)dt
となりますから、これより
z=Cexp{-2((1/3)t^3+t)}...(4)
です。(4)をtについて微分すれば（ここでCがtの関数とする。）
dz/dt=Cexp{-2((1/3)t^3+t)}(-2t^2-2)+(dC/dt)exp{-2((1/3)t^3+t)}
=-2Cexp{-2((1/3)t^3+t)}(t^2+1)+(dC/dt)exp{-2((1/3)t^3+t)}...(5)
です。そして(4),(5)を(3)に代入
-2Cexp{-2((1/3)t^3+t)}(t^2+1)+(dC/dt)exp{-2((1/3)t^3+t)}+2(t^2+1)Cexp{-2((1/3)t^3+t)}=2/t
すなわちCを含む項は丁度消えて。
(dC/dt)exp{-2((1/3)t^3+t)}=2/t...(6)
となります。これより、
dC/dt=(2/t)exp{2((1/3)t^3+t)}
C=∫(2/t)exp{2((1/3)t^3+t)}+C'(C'：任意定数）...(7)
です。(7)を(4)に代入してやればzについて解けて
z=C'exp{2((1/3)t^3+t)}+[exp{2((1/3)t^3+t)}]∫(2/t)exp{2((1/3)t^3+t)}...(8)
これをx=1/zでもどしてやれば答えです。大騒ぎして質問者さんの答えと合わないのが出てきてしまいました。どうしてだろう？？

お礼

ありがとうございました。
やっぱり解答の値にはなりませんよね・・・
誤植の多い本なので問題か解答のどちらかが間違っているのかもしれません。