数学の微分積分の問題がわかりません。

質問

数学の微分積分の問題がわかりません。

2次方程式 x^2+(t^2)x-2t=0 (tは正の定数)の2つの解をα、βとして、
P=∫[-1→2]{(x+1/α^2)(x+1/β^2)+1/(αβ)}dxとする。

(1)Pをtの式で表すと、P=□+□ (t^2+□/t^2)である。

(2)Pはt=□^(1/4)のとき、最小値□+(□√□)/□ をとる。

α+β=-t^2
αβ=-2t
として計算しましたが

わかりません。

お願いします！

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

単なる計算問題に等しいが、計算に自信のない私としては辛いところ。。。。ｗ

判別式＞0だから　確かに2つの異なる実数解を持つ。
そこで、1/α＝m、1/β＝n とすると、被積分関数は　x＾2＋(m＾2+n＾2)x＋(mn)＾2+1/mn　となるから、実際に積分をすると　P=途中の計算は省略する＝1/3＋(3/8)*(t＾2＋6/t＾2)
t＞0　より相加平均・相乗平均を使うと　t＾2＋6/t＾2≧2√6　等号は　t=6^(1/4)で最小値は　1/3＋(3√6)/(4)

計算は、チェックしてね。

回答No.1

rnakamra

被積分関数を変形します。

(x+1/α^2)(x+1/β^2)+1/(αβ)=x^2+(1/α^2+1/β^2)x+1/(α^2*β^2)+1/(αβ)
=x^2+{(α^2+β^2)/(αβ)^2}x+1/(αβ)^2+1/(αβ)
=x^2+[{(α+β)^2-2αβ}/(αβ)^2]x+1/(αβ)^2+1/(αβ)

この式に解と係数の関係から求めたα+β,αβを代入し、積分を行えばよいでしょう。